Задание №66508 ЕГЭ Профильной математике

а) Проведем диагонали основания  и  пересекающиеся в точке  а также отметим точки  и  — середины ребер  и  соответственно. Тогда 

Рассмотрим плоскость  Прямая  пересекает эту плоскость в точке  лежащей на отрезке  Проведем через точку  отрезок   Тогда  Следовательно,  Значит, требуется доказать, что 

Так как  — средняя линия в  то  Тогда по теореме Фалеса  откуда следует, что  — середина  Значит,  А так как  то теореме Фалеса  Что и требовалось доказать.

б) Пусть  Так как плоскость  проходит через  и  то  Следовательно, плоскость  пересекает плоскость  по прямой  проходящей через точку  и параллельной  Тогда  — сечение пирамиды плоскостью 

Так как   то по теореме о трех перпендикулярах  Значит, так как   то верно следующее:  Также, так как  то  пересечет плоскости, в которых лежит  по прямым, параллельным  Значит, 

Следовательно, сечение состоит из двух многоугольников: прямоугольника  и равнобедренного  (ребра  и  равны, так как равны прямоугольные  и ; по теореме Фалеса  и  — середины  и  соответственно, значит, ).

Найдем необходимые длины отрезков:

Тогда