Задание №66507 ЕГЭ Профильной математике

а) Проведем  Отметим на  точку  так, что  Тогда  — параллелограмм, откуда  Следовательно, 

Пусть  Тогда так как  то  Следовательно,

Следовательно,

По теореме Менелая для  и прямой 

Следовательно, точка  — середина отрезка  Что и требовалось доказать.

б) Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то  Значит, сечение  — трапеция (заметим, что )

Пусть  — середина  Тогда  — средняя линия в  значит,

Но так как  то  Тогда так как точки  и  — середины  и  соответственно, то

Так как  то  Следовательно, так как  то  Значит,  — параллелограмм, значит,

Следовательно,  — середина 

По теореме косинусов для 

Таким образом,

Тогда

Также имеем:

Следовательно, по теореме косинусов для  имеем:

Таким образом,

Путь  Тогда  — высота сечения. Из 

Значит, искомая площадь сечения равна