Задание №66509 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66509

Основанием четырехугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является прямоугольная трапеция $ABCD,$ в которой $∘ ∠BAD = 90,$ а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b.$

а) Докажите, что если $c= 4b,$ то объемы многогранников, на которые призму $ABCDA1B1C1D1$ делит плоскость $(CDA1 ),$ относятся как $3:2.$

б) Объемы многогранников $DA1D1CB1C1$ и $ADA1BCB1,$ на которые призму $ABCDA B C D 1 1 1 1$ делит плоскость $(CDA ), 1$ соответственно равны 30 и 20. Найдите высоту призмы $ABCDA1B1C1D1,$ если $CD =5,$ $AD = 4.$

Ответ

Ответ:

Решение

а) Обозначим $AD = p,$ $h$ — высота призмы. Тогда объем призмы $ABCDA1B1C1D1$ равен

b+4b- 5 V0 = 2 ⋅p⋅h= 2bph

Проведем $CN ∥AD,$ $NN1 ∥AA1.$ Тогда $ANCDA1N1C1D1$ — призма, в основании которой лежит прямоугольник, а высота этой призмы равна $h.$ Следовательно, ее объем равен

Vprism = bph

Пусть $D1K ⊥ AD,$ $D1K = k,$ $BM ⊥ (AA1D1 ),$ $BM = m.$ Тогда

Vprism = k ⋅p ⋅ 1m 4

Тогда получаем

1 bph = 4kpm ⇔ km = 4bh

Значит,

1 1 V1 =VA1D1DN1C1C = 2Vprism = 2bph

$B1N1C1C$ — треугольная пирамида, высота которой, проведенная из вершины $B1,$ равна $3m. 4$ Следовательно, ее объем равен

V2 = VBN C C = 1⋅ 3m ⋅ 1kp= 1kpm = 1bph 1 11 3 4 2 8 2

$PIC$

Следовательно, объем многогранника $DA1D1CB1C1,$ образованного плоскостью $(CDA1 ),$ равен

1 1 V01 = V1+ V2 = 2bph+ 2 bph = bph

Тогда объем оставшейся части равен

5 3 V02 = V0− V01 = 2bph − bph = 2bph

Следовательно,

V02 :V01 = 3bph:bph= 3 :2 2

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $c = αb,$ $α> 1.$ Определим, возможен ли такой случай, учитывая данные. Этому случаю соответствует рисунок, приведенный в решении пункта а). Используя обозначения пункта а), получаем

b+-αb 1+-α- V0 = 2 ⋅p⋅h = 2 bph

Тогда

1 bph =Vprism = kp⋅α-m ⇒ km = αbh V1 = 1Vprism = 1bph 2 2 1 α-−-1 1 α-−-1 α−-1- V2 = 3 ⋅ α m ⋅2kp= 6α kpm = 6 bph V01 = V1 +V2 = α+-2bph 6 2α-+-1 V02 = V0 − V01 = 6 bph

Следовательно,

1 2:3= V02 :V01 = (2α+ 1):(α+ 2) ⇒ α= 4

Следовательно, этот случай невозможен, так как $α> 1.$

Пусть $b =αc,$ $α> 1.$ Проверим возможность такого случая. Рассмотрим рисунок, соответствующий этому случаю:

$PIC$

α+ 1 V0 = -2--cph cph= V = 1mpk ⇒ km = αch prism α 1 V1 = 2cph V2 = 1⋅ α-−-1m ⋅ 1kp= α-−-1cph 3 α 2 6 1 1 1 α − 1 V3 =VCB1C1N1 = 3h⋅SB1C1N1 = 3h ⋅2p⋅(α− 1)c=--6-cph V01 = S1+ S2+ S3 = 2α+-1cph 6 α + 2 V02 = V0− V01 =-6--cph

Тогда

2 V02 α + 2 3 = V01-= 2α+-1- ⇔ α = 4

Этот случай является единственно возможным.

По условию $αc= 5,$ $p = 4.$ Следовательно, $4c= 5 ⇔ c= 5 . 4$

Тогда можем найти высоту призмы:

α+-1cph= V = 30+ 20= 50 ⇔ 25h = 50 ⇔ h= 4 2 0 2

Ответ:

б) 4

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот

Задание №53477 Задание №58397 Задание №53692 Задание №89375 Задание №89376 Задание №89377 Задание №89378 Задание №89379 Задание №89380 Задание №2259 Задание №56471 Задание №56472 Задание №56473 Задание №56474 Задание №56579

Бесплатно

Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ

При поддержке

Онлайн школа подготовки к ЕГЭ

ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111

Новая Школа

Тренажёр ОГЭ Тренажёр ЕГЭ О Новой Школе Вакансии Отзывы Сведения об образовательной организации Образовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются