Задание №66324 ЕГЭ Профильной математике

ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямая призма
ABCD — параллелограмм
M ∈ A₁B₁
K ∈ B₁C₁
N ∈ BC
B₁K/KC₁ = 1/3
AMKN — равнобедренная трапеция
AN = 4, MK = 2 основания
Решение:

MF и KE — высоты призмы
а) EF || MK, EF = MK ⇒ EF || AN, EF = 1/2AN
Δ FBE ∼ Δ ABN, k = 1/2 ⇒ BN = 2BE
2BE = 2B₁K
2B₁K = 1/2B₁C₁ = 1/2BC
BN = 1/2BC ⇒ N — середина BC

б) V_призмы = 24, h = 3 ⇒ S_{основания} = 243 = 8 = S_ABCD
1) Δ AFM = Δ NEK (по катету и гипотенузе) ⇒ AF = EN

2) Δ ABN — равнобедренный с основанием AN = 4 ⇒ S_ABN = 8/4 = 2 ⇒ h_AN = 2/2 = 1

3) по теореме Пифагора найдем высоту трапеции √3² + (½)² = √9 + ¼ = √9¼ = √37/4 = √37/2

4) S_AMKN = (2 + 4)/2 × √37/2 = 3√37/2
Ответ: б) 3√37/2