Задание №89500 ЕГЭ Профильной математике

Обозначим $\mathrm{A}=402500$ рублей.

Заметим, что в итоге кредит был выдан на 4 года, причем в течение первых двух лет студент учится, а в течение последних двух — уже нет. Пусть $\mathrm{x}$ — это платеж банку в первые 2 года, тогда $5\mathrm{x}$ — платеж банку в последние два года. Если банк начисляет 20% на текущий долг, то этот долг увеличивается в $\frac{120}{100}=1,2$ раза.

Заметим также, что в сентябре второго года долг банку увеличится на стоимость годового обучения, то есть на A.

Составим таблицу:

Год	Сумма долга до начисления %	Сумма долга после начисления %	Сумма долга после платежа	Платеж
1	$\mathrm{A}$	$1,2\mathrm{A}$	$1,2\mathrm{A}-\mathrm{x}$	$\mathrm{x}$
2	$1,2\mathrm{A}-\mathrm{x}+\mathrm{A}$	$1,2\left(\right(1,2+1)\mathrm{A}-\mathrm{x})$	$1,2\left(\right(1,2+1)\mathrm{A}-\mathrm{x})--\mathrm{x}=\mathrm{B}$	$\mathrm{x}$
3	$\mathrm{B}$	$1,2\mathrm{B}$	$1,2\mathrm{B}-5\mathrm{x}$	$5\mathrm{x}$
4	$1,2\mathrm{B}-5\mathrm{x}$	$1,2\left(1,2\mathrm{B}-5\mathrm{x}\right)$	$1,2\left(1,2\mathrm{B}-5\mathrm{x}\right)-5\mathrm{x}$	$5\mathrm{x}$

Так как в конце четвертого года кредит закрыт, то долг банку будет равен нулю, то есть

Выразим через $\mathrm{A}$ и $\mathrm{x}$ долг $\mathrm{B}$ в конце второго года:

Тогда получаем уравнение на остаток долга в конце четвертого года:

Заметим, что за все годы пользования кредитом студент выплатил банку $\mathrm{х}+\mathrm{х}+5\mathrm{х}+5\mathrm{х}=12\mathrm{х}$ рублей, а взял в кредит две стоимости годового обучения в университете, то есть взял $2\mathrm{А}$ Значит, переплата $\mathrm{R}$ равна