Задание №89658 ЕГЭ Профильной математике

В первой шахте рабочие трудятся по $60\cdot 5=300$ часов, а во второй –  $260\cdot 5=1300$ часов.

Пусть в первой шахте будет затрачено на добычу алюминия $\mathrm{x}$ человеко-часов, где $\mathrm{x}\in [0;300]$, а во второй – $\mathrm{y}$  человеко-часов, где  $\mathrm{y}\in [0;1300]$.

Так как на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то масса алюминия должна быть в 2 раза больше, чем масса никеля:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=2(3500-3\mathrm{x}-2\mathrm{y}) \\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=7000-6\mathrm{x}-4\mathrm{y} \\ \mathrm{y}=1000-\frac{8\mathrm{х}}{7}. \end{gathered}$$

Пусть $\mathrm{z}$ кг – масса сплава, которую производит завод.

Тогда  $\mathrm{z}=2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+3500-3\mathrm{x}-2\mathrm{y}=3500-\mathrm{x}+\mathrm{y}.$

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{у}=1000-\frac{8\mathrm{х}}{7}\\ \mathrm{z}=500-\mathrm{x}+\mathrm{y}\end{array}\right. \\ \mathrm{z}=3500-\mathrm{z}+1000-\frac{8\mathrm{х}}{7} \\ \mathrm{z}=4500-\frac{15}{7}\mathrm{x} \end{gathered}$$

Полученная функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом  $\mathrm{k}=-\frac{15}{7}$. Значит данная функция достигает своего наибольшего значения на отрезке $\mathrm{x}\in [0;300]$  при  $\mathrm{x}=0$. Тогда $\mathrm{y}=1000\in [0;1300]$. 

Следовательно, наибольшее количество сплава, которое сможет произвести завод, составит:  $\mathrm{z}=4500$  кг.