Задание №89659 ЕГЭ Профильной математике

Пусть  ${\mathrm{x}}^2$  часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя  $8\mathrm{x}$ единиц товара,  ${\mathrm{y}}^2$  часов – во втором, производя $15\mathrm{y}$  единиц товара. Тогда общее количество единиц товара, произведенных на двух заводах: $8\mathrm{x}+15\mathrm{y}=578$,  где  $\mathrm{x}\in [0;72\frac{1}{4}],\mathrm{y}\in [0;38\frac{8}{15}].$

Пусть $\mathrm{z}$ – сумма на оплату труда рабочих. Тогда: $\mathrm{z}=600({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2)$.  Следовательно:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}8\mathrm{x}+15\mathrm{y}=578\\ \mathrm{z}=600({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\frac{578}{15}-\frac{8}{15}\mathrm{x}\\ \mathrm{z}=600({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2)\end{array}\right. \\ \mathrm{z}=600\cdot ({\mathrm{x}}^2+{(\frac{578}{15}-\frac{8}{15}\mathrm{x})}^2). \end{gathered}$$

Требуется найти $\mathrm{z}$ наименьшее при  $\mathrm{x}\in [0;72\frac{1}{4}]$.  Найдём производную:

$\mathrm{z}\prime =600\cdot (2\mathrm{x}-\frac{8}{15}\cdot 2\cdot (\frac{578}{15}-\frac{8}{15}\mathrm{x}\left)\right)=600\cdot (\frac{578\mathrm{x}}{225}-\frac{16\cdot 578}{225})=\frac{8\cdot 578}{3}\cdot (\mathrm{x}-16).$

Найдём нули производной:  

$$\begin{gathered} \frac{8\cdot 578}{3}\cdot (\mathrm{x}-16)=0 \\ \mathrm{x}=16. \end{gathered}$$

Следовательно,  $\mathrm{x}=16$  –  точка минимума, и значит $\mathrm{z}$ будет наименьшим при $\mathrm{x}=16.$

$\mathrm{z}\left(16\right)=600\cdot ({16}^2+{(\frac{578}{15}-\frac{8\cdot 16}{15})}^2)=600\cdot (256+900)=693600$ руб.