Задание №89662 ЕГЭ Профильной математике

Пусть  А  – первоначальный вклад. Так как за первый год банк начисляет  x%, то через год после начисления процентов сумма будет равна:  A⋅100+x100.

После добавления десятой части от первоначального вклада сумма будет равна:  $\mathrm{A}\cdot \frac{100+\mathrm{x}}{100}+\frac{\mathrm{A}}{10}$.

Так как $\mathrm{x}+\mathrm{y}=50\iff \mathrm{y}=50-\mathrm{x}$,  то в конце второго года после начисления процентов вклад будет равен:

$$\begin{gathered} \mathrm{z}=(\mathrm{A}\cdot \frac{100+\mathrm{x}}{100}+\frac{\mathrm{A}}{10})\cdot \frac{100+50-\mathrm{x}}{100} \\ \mathrm{z}=\frac{\mathrm{A}}{10000}\cdot (-{\mathrm{x}}^2+40\mathrm{x}+16500). \end{gathered}$$

Графиком полученной функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: ${\mathrm{x}}_{\mathrm{B}}=\frac{-40}{-2}=20.$

Значит, при  x=20%  в конце второго сумма на вкладе будет наибольшей.