Задание №89664 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{y}$ – прибыль. Тогда: 

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\mathrm{PQ}-3000\mathrm{Q}-5000000-\mathrm{tQ} \\ \mathrm{y}=\mathrm{P}(15000-\mathrm{P})-3000(15000-\mathrm{P})-5000000 \\ \mathrm{y}=-{\mathrm{P}}^2+18000\mathrm{P}-50000000. \end{gathered}$$

После того как цена уменьшилась на 20%,  то есть стала  $0,8\mathrm{P}$,  прибыль осталась прежней. Следовательно:

$$\begin{gathered} -{\mathrm{P}}^2+18000\mathrm{P}-50000000=-0,64{\mathrm{P}}^2+14400\mathrm{P}-50000000 \\ 0,36{\mathrm{P}}^2-3600\mathrm{P}=0 \\ {\mathrm{P}}_1=0 \\ {\mathrm{P}}_2=10000. \end{gathered}$$

Так как по условию  $1000\le \mathrm{P}\le 15000$,  то  $\mathrm{P}=10000.$

Следовательно, до снижения цены  $\mathrm{P}=10000$  руб., а после снижения на  20 %  составила 8000 руб.

Определим, при каком значении  $\mathrm{P}$  прибыль будет наибольшей. Графиком функции  $\mathrm{y}=-{\mathrm{P}}^2+18000\mathrm{P}-50000000$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, её наибольшее значение будет в вершине: ${\mathrm{P}}_{\mathrm{B}}=\frac{-18000}{-2}=9000.$

Следовательно, при  $\mathrm{P}=9000$  прибыль будет наибольшей.

Найдём, сколько процентов составляет $\mathrm{P}=9000$ от сниженной цены, равной  8000:  $\frac{9000\cdot 100\%}{8000}=112,5\%.$

Следовательно, сниженную цену надо увеличить на  $112,5\%-100\%=12,5\%.$