Задание №11416 ЕГЭ Профильной математике

Сначала найдем AD, для этого нам нужно узнать косинус угла A.

По теореме Пифагора в треугольнике ABC:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=25+144=169\Rightarrow AB=13$

$\cos \left(\angle A\right)=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$$\angle A=2\angle DAC \Rightarrow \cos \left(\angle A\right)=2{\cos }^2\left(\angle DAC\right)-1=\frac{12}{13}$

$2{\cos }^2\left(\angle DAC\right)=\frac{25}{13}$

${\cos }^2\left(\angle DAC\right)=\frac{25}{26}\Rightarrow \cos \left(\angle DAC\right)=\frac{CA}{AD}=\frac{5}{\sqrt{26}}$

Косинус положительный, потому что угол DAC меньше 90 градусов.

$AD=\frac{AC·\sqrt{26}}{5}=\frac{12\sqrt{26}}{5}$

Сравним числа $\sqrt{26}$ и $\frac{12\sqrt{26}}{5}$, чтобы понять, где будет лежать точка E.

Очевидно, что $\frac{12}{5}\sqrt{26}>\sqrt{26}$, следовательно точка D лежит дальше точки E относительно A.

Но точка E может располагаться как правее, так и левее точки A.

Рассмотрим первый случай:

Рассмотрим треугольники BCE и ABC:

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC$

$S_{△BCE}=\frac{1}{2}·BC·EH$

Можно заметить, что формулы отличаются только высотами, более того, $HE\parallel AC$, так как эти отрезки перпендикулярны BC.

Найдем отношение этих отрезков через треугольник ACD:

$△DHE~△ABC\Rightarrow \frac{DE}{DA}=\frac{HE}{AC}$

$HE=\frac{DE·AC}{AD}=\frac{(AD-AE)·AC}{AD}=\frac{AD·AC-AE·AC}{AD}=AC-\frac{AE·AC}{AD}=12-\frac{\sqrt{26}·12}{{\displaystyle \frac{12\sqrt{26}}{5}}}=12-\frac{5·12\sqrt{26}}{12\sqrt{26}}=12-5=7$

$S_{△BCE}=\frac{1}{2}·BC·HE=\frac{1}{2}·5·7=\frac{35}{2}=17,5$

Рассмотрим второй случай:

Рассмотрим треугольники BCE и ABC:

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·BC$

$S_{△BCE}=\frac{1}{2}·BC·EH$

Можно заметить, что формулы отличаются только высотами, более того, $HE\parallel AC$, так как эти отрезки перпендикулярны BC.

Найдем отношение этих отрезков через треугольник HED:

$△DHE~△DAC\Rightarrow \frac{DA}{DE}=\frac{CA}{EH}$

$EH=\frac{CA·DE}{DA}=\frac{CA·(DA+AE)}{DA}=\frac{CA·DA+CA·AE}{DA}=CA+\frac{CA·AE}{DA}=12+\frac{12\sqrt{26}}{{\displaystyle \frac{12\sqrt{26}}{5}}}=12+\frac{5·12\sqrt{26}}{12\sqrt{26}}=12+5=17$