Задание №57064. В треугольнике ABC угол A равен 120 . Прямые, содержащие высоты

В треугольнике ABC угол A равен 120° . Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H. Точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC .

а)  Докажите, что AH  =  AO.

б)  Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3 , $\angle ABC=15 градусов.$

Ответ:

Решение

а)  По теореме синусов имеем: $BC=2AO умножить на синус 120 градусов = AO корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Четырехугольник MHNA вписан в окружность с диаметром AH, тогда по теореме синусов для треугольника MNA имеем:

$MN =2R умножить на синус 120 градусов=AH умножить на синус 120 градусов = AH умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Треугольники MAN и BAC подобны так как

$дробь: числитель: MA, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: AN, знаменатель: AC конец дроби = косинус 60 градусов = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$

тогда $MN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC.$ Подставляя получаем,

$дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AH = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AO умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно AH=AO.$

б)  По теореме о вписанном угле $\angle COA = 2 \angle ABC = 2 умножить на 15 градусов= 30 градусов.$ Тогда

$\angle CAO = дробь: числитель: 180 градусов минус 30 градусов, знаменатель: 2 конец дроби =75 градусов,$

а $\angle ACB = 180 градусов минус 120 градусов минус 15 градусов= 45 градусов = \angle CAE.$ Тогда $\angle HAO = 180 градусов минус левая круглая скобка 75 градусов минус 45 градусов правая круглая скобка = 150 градусов.$ Из доказанного в пункте a) имеем, что

$AH=AO= дробь: числитель: BC, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Найдем площадь треугольника

$S_AHO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента в квадрате умножить на синус 150 градусов = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Понятно ли решение?

Задание №57064 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #57064

Ответ:

Решение

Решения от учеников

Похожие задания