Задание №57063. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и Диагональ BD разбивает

Задание №57063 ЕГЭ Профильной математике

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и $BC.$ Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и $CD.$

а)  Докажите, что луч AC  — биссектриса угла BAD .

б)  Найдите CD, если известны диагонали трапеции: $AC=12$ и $BD=6,5.$

Ответ:

Решение

а)   $\angle BAC=\angle ACB= \angle CAD,$ следовательно, AC  — биссектриса угла $BAD.$

б)  Поскольку $BA=BD=BC=6,5$ , точки A, D и C лежат на окружности радиуса 6,5 с центром в точке $B.$ Продолжим основание BC за точку B до пересечения с этой окружностью в точке $E.$ Тогда $EC$ — диаметр окружности, а ADCE  — равнобедренная трапеция. Поэтому $AE=CD,$ а так как точка A лежит на окружности с диаметром CE, получаем, что $\angle CAE=90 градусов.$ Из прямоугольного треугольника CAE находим, что $AE= корень из: начало аргумента: CE в квадрате минус AC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 13 в квадрате минус 12 в квадрате конец аргумента =5.$ Следовательно, $CD=AE=5.$