Задание №57066 ЕГЭ Профильной математике

а)  Угол ABC равен половине дуги ANC. Угол CML равен сумме углов CNK и ACN (как внешний для треугольника CMN). Таким образом, угол CML равен полусумме дуг KC и AN. Из условия угол CML равен углу ABC. Градусные меры дуг KC и CN равны, значит, равны и вписанные углы CKN и CNK, которые на них опираются, следовательно, треугольник KCN равнобедренный.

б)  Треугольники ABC и LMC подобны по двум углам, коэффициент подобия равен отношению сторон AB к LM, то есть равен 3. Поэтому площадь треугольника LMC равна площади треугольника ABC. Найдем площадь треугольника ABC:

Высота h треугольника ABC, проведенная к AB равна Значит, высота CH треугольника CLM, проведенная к LM равна Найдем радиус окружности по теореме синусов:

Таким образом, длина отрезка OH составляет 2. Воспользуемся теоремой Пифагора:

Вычислим искомую площадь:

Ответ: б)