Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №17
  • Задание №17

    • Задание №30732 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #30732

    №17 по КИМ

    Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

    а) Докажите, что \angle POC=\angle PCO.

    б) Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а \angle ABC = 120 градусов.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    а) Пусть O — центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO − биссектрисы. Обозначим углы \Delta ABC: \angle B=2 бета , \angle C=2 гамма . Тогда \angle ABP=\angle PBC= бета , \angle ABP=\angle ACP и \angle CBP=\angle CAP (опираются на одну дугу). Имеем: \angle OCP= гамма плюс бета . Но также \angle POC= гамма плюс бета , как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство: \angle POC=\angle PCO.

    б) Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180o, следовательно, \angle APC=60 градусов, AP=PC, как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний, его площадь равна S= дробь: числитель: AC в степени 2 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби .

    По теореме синусов, AC=2R синус \widehatABC= 8 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из 3. Следовательно, искомая площадь S = дробь: числитель: 48 умножить на корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби = 12 корень из 3.

    Ответ: б) 12 корень из 3.

    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №57558Задание №53478Задание №57957Задание №53693Задание №58400Задание №53986Задание №54346Задание №30364Задание №53987Задание №57063Задание №57064Задание №57065Задание №57066Задание №11416Задание №30732
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта