Задание №65463 ЕГЭ Профильной математике

Сразу заметим, что число кратно 45 тогда и только тогда, когда оно кратно 5 и 9. Значит, цифры 0 и 5 
стоят у этих чисел на конце, а сумма цифр каждого из них кратна 9.

а)  Да. Например , 1935 + 270 = 2205.

б)  Нет, поскольку число 3435 не кратно 9, и потому не может быть суммой двух чисел, кратных 9.

в)  Заметим, что 9315 + 720 = 10035 Докажем, что это наибольшая возможная сумма. Как уже 
установлено, цифры 0 и 5 стоят в разряде единиц. Если в разряде тысяч стоит не 9, то сумма не превосходит

8999+999<10000.

Если в разряде сотен стоят не цифры 3 и 7, то сумма не превосходит

9000+100*(2+7)+10*(3+7)+0+5=10005

Если же в разряде сотен стоят цифры 3 и 7, то в разряде десятков только оставшиеся 1 и 2 и сумма 
тогда равна

9000+100*(3+7)+10*(2+7)+0+5=10035

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10035.