Задание №65466 ЕГЭ Профильной математике

а)  Да, например, подойдет набор 1, 2, 3, 7, 14. В самом деле, 

4 = 3 + 1,

5 = 3 + 2,

6 = 3 + 2 + 1,
поэтому можно получить любой вес от 0 до 6. Добавляя к ним 7, 14 или получим также веса от  7 до 13, от 14 до 20, от 21 до 27.

б)  Нет. Заметим, что есть всего 16 способов выбрать какие-то гири из четырех (включая «не брать ничего»). Действительно, каждую гирю можно либо взять, либо не взять, это дает два варианта для каждой гири, а всего вариантов. Поэтому можно получить не более 15 различных суммарных 
весов, а нужно 25.

в)  Рассуждения, аналогичные пункту б), показывают, что пять гирь дадут не более 31 различной 
суммы. Если взять гири 1, 2, 4, 8, 16, то как раз получатся суммы от 1 до 31. (Это станет очевидным, если записать числа от 1 до в двоичной системе счисления, и выбирать гири, соответствующие нужным степеням двойки.)

Oтвет: а) да, например подойдет набор 1, 2, 3, 7, 14; б) нет; в) 31.