Задание №66655. Среднее геометрическоечисел,вычисляется по формулеа) Может ли

Задание №66655 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66655

№19 по КИМ

Среднее геометрическое $k$ чисел $p1,$ $p2,$ …, $pk$ вычисляется по формуле $----------- √kp1⋅p2...⋅pk.$

а) Может ли среднее геометрическое трех различных двузначных чисел быть равно 36?

б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырех различных двузначных чисел.

в) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Ответ

Ответ:

Решение

а) Да, может, например:

3√ -------- 3√--3 18 ⋅36 ⋅72 = 36 = 36.

Предисловие для б) и в)

Очевидно, что если среднее геометрическое набора из нескольких различных чисел равно $g,$ то наименьшее число из набора меньше, чем $g.$ При этом, среди его простых делителей не должно встречаться чисел, отличных от простых делителей $g.$ Чтобы воспользоваться этим фактом в пунктах б) и в), выпишем, какие простые делители есть у двузначных чисел от 10 до 24:


Число	Простые делители

10	2, 5

11	11

12	2, 3

13	13

14	2, 7

15	3, 5

16	2

17	17

18	2, 3

19	19

20	2, 5

21	3, 7

22	2, 11

23	23

24	2, 3

Как видно из таблицы, средним геометрическим в данном интервале могут быть числа: 18, 20, 22, 24.

б) Будем считать, что $a,$ $b,$ $c,$ $d$ — различные двузначные числа и $a < b< c< d.$

Пусть $√ ---- 4abcd =18.$ Тогда

$( )4 abcd= 184 = 2⋅32 =24 ⋅38$

Тогда $a= 16$ или $a = 12.$
- Пусть $4 a = 16 = 2.$ Тогда $b,$ $c$ и $d$ обязаны быть степенями тройки, иначе либо степень вхождения двойки в произведение $abcd$ будет более 4, либо в нем появится множитель, отличный от 2 и 3. Но среди двузначных чисел есть всего два числа, которые равны степени тройки: 27 и 81. Тогда $a ⁄=16.$
- Пусть $a= 12.$ Тогда
  $bcd = 24⋅38= 22⋅37 22⋅3$
  Заметим, что $b⁄= 16,$ так как тогда степень вхождения 2 в $abcd$ будет более 4. Значит, $b$ не меньше 18.
  
  Рассмотрим, чему может быть равно $c.$ Оно больше 18. Если оно равно 19, 20, 21, 22, 23, 25 или 26, то в произведении $abcd$ будут содержаться множители, отличные от 2 и 3. Также $c$ не может быть равно $24= 23⋅3,$ так как тогда степень вхождения 2 в $abcd$ будет более 4. Следовательно, $c$ не меньше 27. Тогда
  $2 7 d≤ 2-⋅3- =18. 18⋅27$
  Но $d > 27$ — противоречие. Тогда $a ⁄=12.$
Таким образом, среднее геометрическое четырех различных двузначных чисел не может равняться 18.
На 20 есть пример: $a= 10,$ $b= 20,$ $c = 25,$ $d= 32.$ Проверим его:
$(2 ) ( 2) ( 5) 8 4 abcd= 10⋅20⋅25⋅32= (2⋅5)⋅ 2 ⋅5 ⋅5 ⋅ 2 = 2 ⋅5$
Значит,
$√4abcd-= 4√28⋅54 = 22⋅5= 20$

в) Будем считать, что $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ $f$ — различные двузначные числа и $a < b< c< d< e< f.$

Пусть $√6abcdef = 18.$ Тогда
$( ) abcdef = 186 = 2 ⋅32 6 = 26⋅312$
Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 3 — это 12, 16, 18, 24, 27 и 32. Сравним их произведение и $186 :$

$pict$

Таким образом, $√6abcdef ⁄= 18.$
Пусть $√6abcdef = 20.$ Тогда
$( ) abcdef = 206 = 22⋅5 6 = 212⋅56$
Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 5 — это 10, 16, 20, 25, 32 и 40. Сравним их произведение и $206 :$

$pict$

Таким образом, $√6abcdef ⁄= 20.$
Пусть $√6abcdef = 22.$ Тогда
$abcdef = 226 =(2⋅11)6 = 26⋅116$
Первые шесть двузначных чисел, в разложении на простые которых входят только 2 и 11 — это 11, 16, 22, 32, 44 и 64. Сравним их произведение и $226 :$

$pict$

Таким образом, среднее геометрическое шести различных двузначных чисел не может равняться 22.
На 24 есть пример: $a= 12,$ $b= 16,$ $c= 18,$ $d =24,$ $e = 36,$ $f = 64.$ Проверим его:
$abcdef = 12⋅16⋅18⋅24⋅36⋅64= (22⋅3)⋅(24)⋅(2⋅32)⋅(23⋅3)⋅(22⋅32)⋅(26)= 218⋅36$
Значит,
$6∘------ √6-18--6- 3 abcdef = 2 ⋅3 = 2 ⋅3 = 24.$