Задание №66657. Дано четырехзначное числогдеи соответственно цифры разрядов

Задание №66657 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66657

Дано четырехзначное число $---- abcd,$ где $a,b,c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причем $a⁄= 0.$

а) Может ли произведение $a⋅b⋅c ⋅d$ быть больше суммы $a+ b+ c+ d$ в 5 раз?

б) Цифры $a,b,c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $---- abcd$ таких, что $a ⋅b⋅c⋅d> a+ b+ c+ d?$

в) Известно, что $a⋅b⋅c⋅d= k(a+ b+ c+ d),$ где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $abcd$ число $k$ будет наибольшим?

Ответ

Ответ:

Решение

а) Число 1285 подойдет:

1⋅2 ⋅8 ⋅5= 80= 5⋅16= 5⋅(1+ 2+ 5+ 8).

б) Разберем несколько случаев:

Если в числе $---- abcd$ есть цифра 0, то неравенство очевидно неверно.
Если в числе $abcd-$ есть цифра 1, то есть два варианта:

1)

В числе $---- abcd$ нет цифры 2. Тогда произведение цифр равно хотя бы $1 ⋅3⋅4⋅5= 60,$ что больше наибольшей суммы цифр, равной $36 = 4⋅9.$

2)

В числе $---- abcd$ есть цифры 1 и 2. Тогда произведение не меньше чем $1⋅2⋅3⋅4= 24,$ а сумма цифр не больше чем $1 +2 +9 +9 = 21.$ И в этом случае произведение больше суммы.
Если наименьшая цифра равна хотя бы 2, то, так как все цифры различны, их произведение равно хотя бы $2⋅3⋅4⋅5 =120,$ а сумма не больше $9⋅4= 32.$ Значит, неравенство выполнено.

Значит, нам нужно найти количество четырехзначных чисел, в которых все цифры различны и нет цифры 0. Их $9⋅8⋅7⋅6= 3024,$ так как первую цифру можно выбрать 9 способами; вторая цифра должна не совпадать с первой — значит, выбрать ее есть 8 способов, и так далее.

в) Очевидно, что если при каких-то $a,$ $b,$ $c$ и $d$ число $k$ — наибольшее, то ни одна из цифр не равна 0.

Будем перебирать значения $k.$ Так как $k$ — двузначное число, то $k < 100.$ Начнем перебор.

Если $k = 99,$ то $abcd$ делится на 11. Такое невозможно, так как $a,$ $b,$ $c,$ $d$ — цифры.
Если $k = 98= 72⋅2,$ то $abcd$ делится на 49, то есть две цифры из четырех равны 7. Тогда третья должна быть четной. Пусть не умаляя общности $a= 7,$ $b =7,$ $c= 2x,$ где $1≤ x ≤4,$ $x∈ ℕ.$ Тогда имеем:
$xd= 14+ 2x+ d xd− 2x− d+ 2 =16 (x − 1)(d− 2)= 16= 24$
Значит, $(d− 2)$ и $(x− 1)$ должны быть степенями двойки. Но $x ≤ 4,$ следовательно, $x − 1≤ 3,$ поэтому $(x− 1)$ равняется 1 или 2. Также, $d≤ 9,$ следовательно, $d− 2≤ 7,$ поэтому $(d − 2)$ равняется 1, 2 или 4. Таким образом,
$(x − 1)(d− 2) ≤2 ⋅4= 8< 16$
Противоречие.
Если $k = 97,$ то $abcd$ делится на 97, которое является простым числом. Такое невозможно, так как $a,$ $b,$ $c,$ $d$ — цифры.