Задание №66659. Изкг материала фабрика изготавливаетодинаковых деталей массойкг

Задание №66659 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66659

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причем $k = nm + q,$ где $q$ кг — остатки материала, и $q < m.$ После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0,2$ кг легче детали старого типа, причём из 63 кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из 64 кг материала.

а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 15 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 16 — уже нет?

б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление 40 новых деталей будет достаточно 63 кг материала, а на 41 — уже нет?

в) Найдите такое минимальное число $n,$ что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из 80 кг материала, а $n − 1$ деталь не сможет, не нарушая условия $q <m.$

Ответ

Ответ:

Решение

Пусть масса детали нового типа равна $m$ кг. Тогда масса детали старого типа равна $m + 0,2$ кг. Пусть из 64 кг можно сделать $n$ деталей старого типа. По условию из 63 кг можно сделать на две детали нового типа больше, то есть $n+ 2.$ Тогда из условия $k = mn + q,$ где $q <m$ получаем:

{ 64= (m +0,2)n+ q1, 0≤ q1 < m + 0,2 63= m(n +2)+ q2, 0 ≤q2 < m ⇔ { m6+40,2-= n+ m+q10,2 0 ≤ q1 <m + 0,2 ⇔ 63= n+ 2 + q2 0≤ q2 < m m m

Так $0≤ q1 < m +0,2$ и $0 ≤ q2 <m,$ то

0≤ --q1---< 1 m + 0,2 q2 0≤ m < 1

Значит,

{ { n≤ m+604,2 < n +1 63m − m6+40,2 < 3 n+ 2≤ 63m-<n + 3 ⇔ 63m − m6+40,2 > 1 ⇔ { ⇔ 63(m+0,2)(−m64+m0−,23)mm(m+0,2)< 0 ⇔ 63(m+0,2)m−(m64+m0−,m2)(m+0,2) >0 { 2 ⇔ 63m+12,6m−(64mm+−03,2m)-−0,6m < 0 ⇔ 63m+12,6m−(m64+m0−,m22)−0,2m-> 0 { 2 −3mm−(1m,6+m0+,21)2,6 < 0 ⇔ −m2−m(m1,+2m0+,122),6> 0

Так как $m + 0,2$ и $m$ — массы деталей, то $m + 0,2 > 0,$ $m > 0,$ а значит, $m (m + 0,2)> 0.$

Тогда необходимо решить систему

{ − 3m2− 1,6m +12,6< 0 ⇔ − m2− 1,2m +12,6> 0 { 2 { ( 7) ⇔ 15m + 8m − 63> 0 ⇔ m ∈ −∞; − 3 ∪ (1,8; + ∞) ⇔ 5m2 +6m − 63< 0 m ∈ (−4,2; 3) ( 7) ⇔ m ∈ −4,2; − 3 ∪(1,8; 3)

Но $m > 0,$ соответственно, $m ∈ (1,8; 3).$

а) Пусть такое возможно и масса новой детали $m1$ кг. На изготовление 15 деталей 63 кг хватит, на изготовление 16 деталей — нет. Значит,

{ { 63 63> 15m1 ⇔ m1 < 1654 = 4,2 64< 16m1 m1 > 16 = 4

Таким образом, $m1 ∕∈ (1,8; 3).$ Значит, такого не может быть.

б) Пусть такое возможно и масса новой детали $m1$ кг. Аналогично пункту а:

{63 >40m {m < 63= 1,575 1 ⇔ 1 4603 22 64 <41m1 m1 > 41 = 141

Таким образом, $m1 ∕∈ (1,8;3).$ Значит, такого не может быть.

в) Пусть $x$ — число новых деталей массой $m1$ кг, которое фабрика может выпустить из 80 кг материала. Тогда

80= m1x +q1, 0≤ q1 < m1 ⇔ m1x ≤ 80< m1(x+ 1) ⇔ { 80 ( ] ⇔ m1 ≤ x- ⇔ m1 ∈ -80-; 80 m1 > 8x+01- x+ 1 x

Так как фабрика не может выпустить $x− 1$ деталь из 80 кг материала, то не существует такого $m2,$ что

80= m2(x − 1)+ q2, 0≤ q2 < m ⇔ m2(x− 1)≤ 80< m2x ⇔ { 80- ( ] ⇔ m2 ≤ x−801 ⇔ m2 ∈ 80;-80-- m2 > x x x− 1

По доказанному ранее $m1 ∈ (1,8; 3).$ Значит,

80 80 2 x-+-1 < 3 ⇔ x > 3-− 1= 253

Таким образом, $x ≥ 26,$ так как $x$ — натуральное число. Заметим, что должно найтись такое $m1,$ что $[80 80) m1 ∈ 27;26 .$

$n$ — количество деталей старого типа, которое можно сделать из 64 кг материала. Из 63 кг материала можно сделать $n+ 2$ деталь нового типа. По доказанному ранее должно выполняться:

{ n ≤ m164+0,2 < n + 1 n +2 ≤ 6m31 <n + 3

Значит, между числами $64 m1+0,2$ и $63 m1$ должно быть два натуральных числа: $n +1$ и $n+ 2.$

Оценим $64 m1-+0,2-:$

80+ 0,2≤ m1+ 0,2< 80 + 0,2 ⇔ 27 26 ⇔ 427 ≤ m1+ 0,2< 426 ⇔ 135 130 ⇔ 130 < ---1---≤ 135 ⇔ 426 m1+ 0,2 427 113 130⋅64 64 135⋅64 100 ⇔ 19213-= --426--< m1+-0,2 ≤--427- = 20427-

Оценим $63 m--: 1$

80 80 27 ≤ m1 < 26 ⇔ 26 1 27 ⇔ 80 < m1-≤ 80 ⇔ 26⋅63 63 27 ⋅63 ⇔ 20,475 = -80--< m-- ≤ -80--= 21,2625 1

Получаем

113 ---64--- -63 19213 < m1 + 0,2 < m1 ≤ 21,2625

Тогда между числами $-64-- m1+0,2$ и $-63 m1$ нет двух натуральных чисел. Поэтому $x = 26$ получить нельзя.

Приведём пример на $x = 27.$ Заметим, что не существует такого $m , 2$ что $m2 ∈ (80; 80] 27 26$ по доказанному ранее. Осталось показать, что существует $m1$ такое, что, во-первых $m1 ∈ (80; 80], 28 27$ во-вторых, найдется такое $n,$ что из 64 кг можно будет сделать $n$ деталей старого типа и из 63 кг можно будет сделать $n +2$ детали нового типа: