Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №19
  • Задание №19

    • Задание №66660 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66660

    №19 по КИМ

    Трёхзначное число, меньшее 910, поделили на сумму его цифр и получили натуральное число n.

    а) Может ли n  равняться 68?

    б) Может ли n  равняться 86?

    в) Какое наибольшее значение может принимать n,  если все цифры ненулевые?

    Ответ

    Ответ:

    Решение

    Пусть дано трёхзначное число --- abc= 100a+ 10b+ c.  Сумма цифр такого трёхзначного числа равна a + b+c.  По условию --- abc= n(a+ b+ c) ⇔ 100a +10b+ c= n(a+ b+ c).

    а) n =68.

    100a+ 10b+ c= 68(a+ b+ c) ⇔ 32a= 58b+ 67c

    Пусть a = 6, b= 1, c= 2.  Тогда 612= 68⋅(6+ 1+ 2).

    б) n =86.

    100a+ 10b+ c= 86(a+ b+ c) ⇔ 14a= 76b+ 85c

    Так как 14a  — чётное число, 76b  — чётное число, то 85c  — тоже чётное. Значит, c  делится на 2. Если c ≥2,  то 85c≥ 170.  Значит,

    14a ≥170 ⇒ a ≥ 170> 9 14

    Но a  — число от 0 до 9. Значит, c =0.  Тогда 14a= 76b.  76b  делится на 19, значит 14a  тоже делится на 19. Числа 14 и 19 взаимно просты, поэтому a  делится на 19. Но так как a> 0,  то a≥ 19.  Противоречие.

    в) Оценим n  сверху.

    n = 100a+-10b-+c-= a+-b+-c+-99a+-9b= 1+ 99a+-9b a+ b+ c a +b+ c a+ b+ c

    Так как c≥ 1,  то a+ b+ c≥ a+ b+ 1.  Тогда --1--≤ --1--: a+b+c a+b+1

    99a+ 9b 9a+ 9b+ 9 90a − 9 90a− 9 n≤ 1+ a+-b+-1 = 1+ -a+-b+-1-+ a+-b+-1 = 10 + a+-b+-1

    Так как b≥ 1,  то a+ b+ 1≥ a+ 1+ 1= a+ 2.  Тогда a+1b+1-≤ a1+2 :

    90a−-9 90a+-180 -189 -189- n ≤ 10+ a+ 2 = 10+ a+ 2 − a +2 = 100− a+ 2

    Так как a≤ 9,  то a+ 2≤ 11.  Тогда -1- 1- -1- -1 a+2 ≥ 11 ⇒ −a+2 ≤ −11 :

    n≤ 100− 189 <100− 17-2 = 82 9- 11 11 11

    n  — натуральное, поэтому n ≤82.

    1.
    Если n = 82,  то
    100a+ 10b+ c= 82(a +b +c) ⇔ 18a= 72b+ 81c ⇔ ⇔ 2a =8b+ 9c

    Так как 2a, 8b  — чётные числа, то 9c  — тоже чётное число. Значит, c  делится на 2. По условию все цифры ненулевые, поэтому c≥ 2.  Так как b≥ 1,  то 8b+9c ≥26.  Тогда a≥ 262 > 9.  Противоречие.

    2.
    Если n = 81,  то
    100a+ 10b+ c= 81(a+ b+ c) ⇔ 19a= 71b+ 80c

    Если b≥ 2,  то так как c≥ 1,  то 71b+ 80c≥ 222.  Тогда a ≥ 222> 9. 19  Противоречие. Значит, b= 1.  При этом если c≥ 2,  то 71b+ 80c≥ 231.  Тогда a ≥ 231-> 9. 19  Противоречие. Тогда b = 1, c= 1.  Найдём a:

    a= 71-+80-= 151= 718 19 19 19

    Но a  должно быть целым числом. Противоречие.

    3.
    Если n = 80,  то
    100a+ 10b+ c= 80(a+ b+ c) ⇔ 20a= 70b+ 79c

    Так как 20a  и 70b  делятся на 10, то 79c  делится на 10. Тогда c  делится 10. Все цифры ненулевые, поэтому c≥ 10.  Противоречие.

    4.
    Если n = 79,  то
    100a+ 10b+ c= 79(a+ b+ c) ⇔ 21a= 69b+ 78c

    Пусть a =7, b= 1, c= 1.  Тогда 711 = 79 ⋅(7 +1 +1).

    Ответ:

    а) Да

    б) Нет

    в) 79

    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №53480Задание №57959Задание №52598Задание №35883Задание №58402Задание №53712Задание №54348Задание №64198Задание №89907Задание №51741Задание №48029Задание №66663Задание №76822Задание №76823Задание №54599
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта