Задание №66662. Все члены конечной последовательности являются натуральными

Задание №66662 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66662

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 7 раз больше, либо в 7 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 7735.

а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?

б) Может ли последовательность состоять из шести членов?

в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Ответ

Ответ:

Решение

а) Переберём все варианты.

1.: Пусть первое число $x,$ второе в 7 раз больше, чем первое, то есть $7x,$ третье число в 7 раз больше второго, то есть равно $49x.$ Тогда $x+ 7x+ 49x= 7735 ⇒ x= 7735-= 13540 57 57$
Число не целое, поэтому такой вариант не подходит.
2.: Пусть первое число $x,$ второе в 7 раз больше первого, то есть $7x,$ а третье в 7 раз меньше второго, то есть $x.$ Тогда $x +7x +x = 7735 ⇒ x = 7735= 8594 9 9$
Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.
3.: Пусть первое число $7x,$ второе число в 7 раз меньше, то есть равно $x,$ а третье в 7 раз больше, чем второе, то есть равно $7x.$ Тогда $7735 2 7x+ x+ 7x= 7735 ⇒ x= 15--= 5153$
Так как число не целое, то данный вариант тоже не подходит.
4.: Пусть первое число $49x,$ второе в 7 раз меньше, чем первое, то есть $7x,$ третье число в 7 раз меньше второго, то есть равно $x.$ Тогда $49x+ 7x+ x= 7735 ⇒ x= 7735-= 13540 57 57$
Число не целое, поэтому этот вариант тоже не подходит.

Таким образом, сумма трёх чисел не может быть равна 7735.

б) Разобьём все числа на пары соседних: в первой паре первое и второе число, во второй паре третьей и четвёртое число и так далее. Пусть меньшее число в паре равно $x.$ Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно $7x.$ Сумма чисел в паре равна $8x.$ Тогда в каждой паре сумма чисел делится на 8. Так как пар $6 2 = 3$ — целое число, то сумма всех чисел последовательности делится на 8. Но $7735$ не делится на 8. Значит, последовательность не может состоять из 6 чисел.

в) Разобьём все числа на пары соседних так же, как в пункте б. Пусть меньшее число в паре равно $x.$ Тогда большее в 7 раз больше, то есть равно $7x.$ Сумма чисел в паре равна $8x.$ Так как числа натуральные, то $x ≥ 1.$ Значит, сумма чисел в каждой паре не меньше, чем $8⋅1= 8.$ Так как сумма всех чисел равна 7735, то пар не больше, чем $7735 7 --8 = 9668.$ Тогда всего чисел в последовательности не больше, чем $966⋅2+ 1= 1933.$

Приведём пример на 1933 числа. Пусть каждый нечётный член последовательности равен 7, каждый чётный член последовательности равен 1, то есть последовательности выглядит как 7, 1, 7, 1, …, 7. Тогда сумма всех чисел равна