Задание №66664 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть 

Тогда

б) Так как дробь  несократимая, то  делится на 240.

 

Пусть среди чисел  нет 16. Тогда, чтобы получить число, делящееся на 16, нужно перемножить 2, 4 и 6. Но  не делится на 5. Значит, один из знаменателей равен 16.

Так как  делится на 5, то одно из чисел  — это 5.

 делится на 3, поэтому оставшееся число — это либо 3, либо 6. Значит, знаменатели дробей — это либо 3, 5, 16, либо 6, 5, 16.

Оценим сумму дробей в первом случае. Среди оставшихся чисел самое большое равно 6. Значит, числитель каждой дроби не больше 6. Тогда

Значит, этот случай не возможен.

Рассмотрим второй случай. Среди оставшихся чисел самое большое число равно 4. Значит, числитель каждой дроби не больше 4. Тогда

Значит, сумма дробей не может быть равна 

в) Пусть среди знаменателей дробей, которые дают минимальную сумму, нет числа 16. Тогда 16 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь  Так как  то  Значит,

Тогда предположение, что среди знаменателей дробей, дающих минимальную сумму, нет числа 16, неверно.

Аналогично если среди оставшихся знаменателей нет 6, то 6 — числитель какой-то дроби. Пусть это дробь  Так как  то  Тогда замена дроби  на  сумму уменьшит.

Самое большое из оставшихся чисел — это 5. Аналогично замена  на  уменьшает сумму.

Значит, числа  — это числа 2, 3, 4 в каком-то порядке. Всего 6 различных перестановок. Посчитаем сумму в каждом случае и найдём минимальную сумму.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

5.

  

6.

  

Таким образом, наименьшая сумма равна