Задание №66668. На доске было написано несколько различных натуральных чисел.

Задание №66668 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #66668

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 1, к каждому числу из второй группы — цифру 8, а числа третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 4 раза?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 18 раз?

в) Сумма всех этих чисел увеличилась в 11 раз. Какое наибольшее количество чисел могло быть написано на доске?

Ответ

Ответ:

Решение

а) Пусть число в первой группе равно 1, число во второй группе равно 2, число в третьей группе равно 9. Сумма чисел до изменений равна $1+ 2+ 9 =12.$ После изменений на доске оказались числа 11, 28 и 9. Их сумма равна $11+ 28+ 9= 48 =4 ⋅12.$

б) Пусть сумма всех чисел в первой группе до изменений равна $A,$ а количество чисел равно $m,$ сумма всех чисел во второй группе до изменений — $B,$ а количество $n,$ сумма всех чисел в третьей группе — $C.$ Если к числу $a$ приписать справа цифру $t$ , то оно станет равным $10a+ t.$ Тогда после изменений сумма всех чисел в первой группе стала $10A +m,$ так как единица прибавилась столько раз, сколько была приписана единица справа, то есть $m$ раз. Аналогично сумма чисел во второй группе стала $10B + 8n,$ в третьей группе осталась $C.$ Тогда

10A +m + 10B + 8n + C = 18(A+ B + C) ⇔ 8A + 8B + 17C =m + 8n

Сумма чисел не меньше, чем их количество, поэтому $8A ≥ 8m,$ $8B ≥ 8n.$ Так как $C ≥1,$ то $8A +8B + 17C ≥ 8m + 8n+ 17> m + 8n.$ Значит, такое невозможно.

в) Рассмотрим отношение $Q$ получившейся суммы к изначальной:

Q = 10A+-m-+-10B+-8n-+C-= 10(A-+B-+-C)+-m-+-8n−-9C = A+ B + C A + B+ C m-+-8n−-9C- = 10+ A +B + C

Будем максимизировать $Q,$ то есть максимизировать значение дроби $mA++8nB-−+ 9CC-.$ Если в первой группе больше одного числа, перенесём какое-нибудь число во вторую группу. Сумма всех чисел, то есть $A+ B + C$ от этого не изменится. В первой группе станет $m − 1$ число, во второй $n+ 1,$ а дробь станет равной

m-−-1+-8(n+-1)−-9C = m-+8n-+-7−-9C-- A +B + C A + B+ C

Таким образом, значение $Q$ увеличилось. Тогда если в первой группе не одно число, мы можем переносить их во вторую группу, пока не останется одно число, увеличивая каждый раз значение $Q.$ Значит, если $Q$ — максимальное, то в первой группе одно число.

Пусть в третьей группе больше одного числа. Перенесём какое-нибудь число во вторую группу, при этом сумма всех чисел $A + B + C$ останется прежней. Пусть новая сумма чисел в третьей группе равна $C1.$ Тогда $C1 <C,$ следовательно, $− 9C1 > −9C.$ Количество чисел во второй группе станет $n+ 1,$ а значит, новое значение дроби будет

m-+-8(n-+1)−-9C1-= m-+-8n-−-9C1+-8> m-+-8n−-9C- A + B +C A + B + C A + B +C

Таким образом, если $Q$ максимально, то в третьей группе тоже одно число. Тогда в первой и в третьей группах по 1 числу, во второй группе $k$ чисел ( $k$ — новое значение количества чисел во второй группе, после того, как числа из первой и третьей групп были перенесены во вторую), всего $k+ 2$ числа.

Оценим знаменатель. Чем меньше знаменатель, тем больше значение дроби, а, значит, больше значение $Q.$ Значит, нужно минимизировать значение $A +B + C$ — сумму $k+ 2$ различных натуральных чисел, а она не меньше, чем сумма первых $k+ 2$ натуральных чисел. Значит, $A + B +C ≥ 1+ 2+ ...+(k+ 1)+ (k + 2) = (k-+-2)(k+-3). 2$

Так как $C ≥ 1,$ то

m +8n − 9C 1 + 8k − 9C 1 + 8k − 9 Q = 10 + -A+-B-+-C--≤10+ -(k+2)(k+3)- ≤10+ -(k+2)(k+3)= 2 2 = 10+ --16(k−-1)- = 10+ 16⋅---k-− 1--- (k+ 2)(k + 3) (k+ 2)(k+ 3)

Пусть $k− 1 f(k)= (k+2)(k+3).$ Найдём, при каком значении $k$ $f(k)$ принимает наибольшее значение. Так как $k$ — количество чисел, то будем рассматривать $f(k)$ только при натуральных $k.$ Рассмотрим разность

f(k+ 1)− f(k)=-----k----- − ---k−-1----= (k+ 3)(k + 4) (k +2)(k+ 3) k(k+-2)−-(k-− 1)(k+-4) ------4−-k------- = (k +2)(k+ 3)(k+ 4) = (k+ 2)(k+ 3)(k + 4)

Значит, $f(k +1)− f(k)> 0$ при $k ≤3,$ $f(k +1)− f(k)= 0$ при $k = 4,$ $f(k+ 1)− f(k)< 0$ при $k ≥ 5.$ Значит, наибольшее значение $Q$ будет при $k = 4.$

Найдём значение $Q$ при $k =8, k = 9:$

Q =10 +16f(8)= 10+ 16 ⋅--7--= 11-1 при k = 8 10⋅11 55 Q =10 +16f(9)= 10+ 16 ⋅--8--= 1032 при k = 9 11⋅12 33

При $k ≥ 5$ функция убывает, значит, если $k ≥ 9,$ то $Q < 11.$ По условию $Q = 11,$ значит, $k ≤ 8,$ а всего чисел не больше, чем $8+ 2= 10.$ Приведём пример, когда всего 10 чисел. Пусть в первой группе было написано число 2, в третьей группе число 1, а во второй числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11. Тогда изначально сумма всех чисел была:

2+ (3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9+ 11)+1 = 56

После изменений числа стали: в первой группе 21, во второй группе 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98, 118, в третьей группе осталось число 1. Новая сумма равна