Задание №66669 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть у Миши  двухрублёвых,  пятирублёвых,  десятирублёвых монет. Так как среди любых 10 монет обязательно найдётся двухрублёвая, то пятирублёвых и десятирублёвых в сумме меньше чем 10. Действительно, иначе можно было бы взять 10 пятирублёвых и десятирублёвых монет и среди них не нашлось бы двухрублёвой монеты. То есть  Аналогично  

Тогда получаем систему

Таким образом, всего не больше 21 монеты. Значит, у Миши не могло быть 30 монет.

б) В пункте а) получили, что монет не больше чем 21. Приведём пример, в котором монет ровно 21. Нужно, чтобы в каждом неравенстве системы из пункта а) достигалось равенство. Иначе если какое-то из трёх неравенств строгое, то при сложении этих неравенств также получится строгое неравенство и монет в сумме будет меньше 21. Тогда получаем систему

в) По условию если взять 20 монет, то среди них обязательно найдётся хотя бы одна десятирублёвая. Значит, монет хотя бы 20. При этом из пункта б) монет не больше чем 21. Так как  то имеем единственный вариант, в котором 21 монета:

При этом равенство достигается только в случае, если в каждом из неравенств имеет место равенство. Посчитаем сумму рублей в этом случае:

Рассмотрим случай, когда монет 20, то есть  Хотим найти максимальное значение  Тогда имеем:

Чтобы максимизировать значение выражения  нужно минимизировать значение выражения  Тогда имеем:

Отсюда получаем

Значит, минимальное значение выражения  равно 118. Тогда максимальное значение выражения  равно 

Приведём пример, в котором у Миши 82 рубля. Пусть двухрублёвых монет было 11, пятирублёвых 6, тогда десятирублёвых было 3. Посчитаем сумму:

Тогда наибольшая сумма рублей получается из 20 монет и равна 82.