Задание №71535 ЕГЭ Профильной математике

а) Из пары $(100; 1)$ за один ход получается пара $(101; 99)$, за два хода получается пара $(200; 2)$, за три хода получается пара $(202; 198)$, а за четыре хода получается пара $(400; 4)$.

б) Заметим, что за один ход из пары  получается пара $(a + b; a - b)$, а за два хода получается пара $(2a; 2b)$. Следовательно, из пары $(100; 1)$ можно получить только пары $(2^k \cdot 100; 2^k \cdot 1)$и $(2^k \cdot 101; 2^k \cdot 99)$, где $k$ — неотрицательное целое число. Число 806 не равно $2^k \cdot 100$ или $2^k \cdot 101$, а значит, пару $(806; 788)$ невозможно получить за несколько ходов из пары $(100; 1)$.

в) Заметим, что пару $(c; d)$ за один ход можно получить только из пары $\left(\frac{c + d}{2}; \frac{c - d}{2}\right)$ при условии, что числа $c$ и $d$ одной чётности.

Таким образом, пара $(806; 788)$ получается из пары $(797; 9)$, которая получается из пары $(403; 394)$. Пару $(403; 394)$ невозможно получить за один ход ни из какой пары, поскольку числа 403 и 394 имеют разную чётность. Следовательно, наименьшее число $a$ в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$, равно 403.

Ответ: а) да; б) нет; в) 403.