Задание №76815 ЕГЭ Профильной математике

а) Да, может. Пусть после первого хода получили числа (17; 17), после второго хода: 2 · 17 + 3 = 37 и 2 + 17 + 17 = 36; после третьего хода: 2 · 37 + 3 = 77 и 2 + 36 + 37 = 75.

б) Если числа a и b — разной чётности, то число (2a + 3) — нечётное и (2 + a + b) — нечётное.

Если числа a и b — одной чётности, то число (2a + 3) — нечётное, а (2 + a + b) — чётное. Таким образом, после нечётного числа ходов оба выписанных числа — нечётные числа и число 20008 после 101 хода на доске появиться не может.

в) Если после k-го хода на доске выписаны два одинаковых числа — числа n, то после (k + 1)-го хода будет число (2n + 3) и (2 + n + n), то есть (2n + 3) и (2 + 2n); а после (k + 2) хода можно выписать на доске числа 2 · (2n + 3) + 3 = 4n + 9 и 2 + 2n + 3 + 2n + 2 = 4n + 7, либо числа 2(2n + 2) + 3 = 4n + 7 и 2 + 2n + 2 + 2n + 3 = 4n + 7. После первого хода можно получить равные числа (17; 17).

Таким образом, равные числа можно выписать на доске после 1-го, 3-го, 5-го и т.д. ходов, то есть после всех нечётных ходов. Значит, и после 205-го хода могут быть выписаны на доске одинаковые числа.