Задание №76816 ЕГЭ Профильной математике

Среднее арифметическое получившихся чисел равно $\frac{5·9}{5}=9>8.5$. Среднее арифметическое оставшихся на доске чисел могло быть больше $16.5$.

б) Пусть с доски было стёрто $\mathit{k}$ чисел, сумма оставшихся была равна $\mathit{S}$, а стала $\frac{\mathit{S}}{2}$. По условию оказались стёрты только числа получившиеся из 2, поэтому $\frac{\mathit{S}+2\mathit{k}}{20}=6$.

Отсюда, $\mathit{S}=120-2\mathit{k}$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $\frac{\mathit{S}}{2\left(20-\mathit{k}\right)}$. Тогда ,

  . Таких целых чисел $\mathit{k}$ нет.

Среднее арифметическое оставшихся на доске натуральных чисел не могло оказаться больше 9 и меньше 10.

в) Найдём наибольшее возможное значение среднего арифметического $\mathit{A}=\frac{60-\mathit{k}}{20-\mathit{k}}$ оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента $\mathit{k}$ — первоначального количества чисел 2 на доске.

Имеем $\mathit{A}=\frac{60-\mathit{k}}{20-\mathit{k}}=1+\frac{40}{20-\mathit{k}}$.

Число $\mathit{A}$ будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента $\mathit{k}$. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более $24$, поэтому $120-2\mathit{k}\le 24\left(20-\mathit{k}\right)$.

$22\mathit{k}\le 360,\mathit{k}\le 16\frac{4}{11},\mathit{k}\in \mathit{N},\mathit{k}\le 16$.

Тогда $\mathit{A}\le 1+\frac{40}{20-16}=11$.

Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным $11$. Пусть первоначально на доске было записано 16 чисел, равных 2, 4 числа, равных 22.

Их среднее арифметическое $\frac{16·2+4·22}{20}=6$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно $\frac{4·11}{4}=11$.