Задание №76817 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть первоначально на доске было 20 чисел, равных 11, 10 чисел, равных 41. Их среднее арифметическое равно $\frac{20·11+10·41}{30}=21$.

Среднее арифметическое получившихся чисел равно $\frac{10·20.5}{10}=20.5$, $20.5>16.5$. Среднее арифметическое оставшихся на доске чисел могло быть больше $16.5$.

б) Пусть с доски было стёрто $\mathit{k}$ чисел, сумма оставшихся была равна $\mathit{S}$, а стала $\frac{\mathit{S}}{2}$. По условию оказались стёрты только числа получившиеся из 11, поэтому $\frac{\mathit{S}+11\mathit{k}}{30}=21$.

Отсюда, $\mathit{S}=630-11\mathit{k}$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел равно $\frac{\mathit{S}}{2\left(30-\mathit{k}\right)}$. Тогда ,

  . Таких целых чисел $\mathit{k}$ нет.

Среднее арифметическое оставшихся на доске натуральных чисел не могло оказаться больше 18 и меньше 19.

в) Найдём наибольшее возможное значение среднего арифметического $\mathit{A}=\frac{630-11\mathit{k}}{2\left(30-\mathit{k}\right)}$ оставшихся чисел в зависимости от целочисленного аргумента $\mathit{k}$ — первоначального количества чисел 18 на доске.

Имеем $\mathit{A}=\frac{630-11\mathit{k}}{2\left(30-\mathit{k}\right)}=\frac{11\mathit{k}-630}{2\mathit{k}-60}=\frac{\frac{11}{2}\left(2\mathit{k}-60\right)-300}{2\mathit{k}-60}=\frac{11}{2}-\frac{300}{2\mathit{k}-60}=\frac{11}{2}+\frac{150}{30-\mathit{k}}$.

Число $\mathit{A}$ будет наибольшим, если наибольшим будет значение аргумента $\mathit{k}$. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более $50$, в конце на доске осталось $30-\mathit{k}$ чисел, поэтому для суммы оставшихся чисел $\mathit{S}=630-11\mathit{k}$ должно выполняться неравенство $630-11\mathit{k}\le 50\left(30-\mathit{k}\right)$.

$39\mathit{k}\le 870,\mathit{k}\le \frac{870}{39}=22\frac{12}{39},\mathit{k}\in \mathit{N},\mathit{k}\le 22$.

Тогда $\mathit{A}\le \frac{11}{2}+\frac{150}{30-22}=24\frac{1}{4}$.

Приведём пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел действительно могло стать равным $24\frac{1}{4}$. Пусть первоначально на доске было записано 22 числа, равных 11, 7 чисел, равных 50 и 1 число, равное 38.

Их среднее арифметическое $\frac{22·11+7·50+38}{30}=\frac{242+350+38}{30}=21$.

Среднее арифметическое оставшихся чисел стало равно $\frac{7·\frac{50}{2}+\frac{38}{2}}{8}=\frac{388}{16}=24.25$.