Задание №76818 ЕГЭ Профильной математике

а) Да. Например, на доске может быть написано шесть чисел 7, 8, 9, 10, 11, 12.

б) Заметим, что среди написанных чисел только одно число может быть больше 11, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, больших 11, больше 140. Аналогично среди написанных чисел только одно число может быть меньше 8, поскольку произведение любых двух различных натуральных чисел, меньших 8, меньше 50. Таким образом, помимо наименьшего и наибольшего чисел, на доске могут быть написаны только числа 8, 9, 10, 11. Следовательно, на доске не может быть более шести чисел.

в) Пусть на доске написаны числа ${\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,{\mathit{a}}_3,{\mathit{a}}_4$ , причём . Тогда для выполнения условий задачи достаточно, чтобы выполнялись неравенства .

В пункте «б» было доказано $8\le {\mathit{a}}_2\le {\mathit{a}}_3\le 11$. Рассмотрим возможные случаи.

1. Если ${\mathit{a}}_2=8,{\mathit{a}}_3=9$, то , получаем ${\mathit{a}}_1=7,10\le {\mathit{a}}_4\le 15$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при ${\mathit{a}}_1=7,{\mathit{a}}_4=15,7+8+9+15=39$.

2. Если ${\mathit{a}}_2=9,{\mathit{a}}_3=10$, то , получаем $6\le {\mathit{a}}_1\le 8,11\le {\mathit{a}}_4\le 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при ${\mathit{a}}_1=8,{\mathit{a}}_4=13,8+9+10+13=40$.

3. Если ${\mathit{a}}_2=10,{\mathit{a}}_3=11$, то , получаем $6\le {\mathit{a}}_1\le 9,{\mathit{a}}_4\le 12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при ${\mathit{a}}_1=9$ и ${\mathit{a}}_4=12,9+10+11+12=42$.

4. Если ${\mathit{a}}_2=8,{\mathit{a}}_3=10$, то , получаем ${\mathit{a}}_1=7,11\le {\mathit{a}}_4\le 13$. В этом случае, наибольшее возможное значение суммы достигается при ${\mathit{a}}_1=7,{\mathit{a}}_4=13,7+8+10+13=38$.

5. Если ${\mathit{a}}_2=8,{\mathit{a}}_3=11$, то $8{\mathit{a}}_1>50{\mathit{a}}_4=12$, получаем ${\mathit{a}}_1=7,{\mathit{a}}_4=12$. В этом случае наибольшее возможное значение суммы $7+8+11+12=38$.

6. Если ${\mathit{a}}_2=9,{\mathit{a}}_3=11$, то $9{\mathit{a}}_1>50,{\mathit{a}}_4=12$, получаем $6\le {\mathit{a}}_1\le 8,{\mathit{a}}_4=12$.

В этом случае наибольшее возможное значение суммы достигается при ${\mathit{a}}_1=8,{\mathit{a}}_4=12,8+9+11+12=40$.

Таким образом, наибольшее значение суммы равно $42$.