Задание №76824 ЕГЭ Профильной математике

а) Да, могло. Приведём пример. Пусть по часовой стрелке числа записаны в следующем порядке: $1$; $2$; $3$; $4$; $5$; $6$; $7$; $8$; $9$; $10$; $16$; $11$; $15$; $13$; $14$; $12$. Сумма модулей указанных разностей равна $40$. б) Нет, не могло. Пусть изначально на доске в порядке следования по часовой стрелке записаны числа ${\mathit{a}}_1$, ${\mathit{a}}_2$, ${\mathit{a}}_3$, … , ${\mathit{a}}_{16}$ — переставленные натуральные числа от $1$ до $16$. Заметим, что для произвольных натуральных чисел $\mathit{m}$ и $\mathit{n}$ числа $\mathit{m}-\mathit{n}$ и $\mathit{n}-\mathit{m}$ имеют одинаковую чётность, а значит $\left|\mathit{m}-\mathit{n}\right|$ имеет ту же чётность, что $\mathit{m}-\mathit{n}$. Но тогда сумма $\left|{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2\right|+|{\mathit{a}}_2-{\mathit{a}}_3|+|{\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4|+\dots +|{\mathit{a}}_{15}-{\mathit{a}}_{16}|+|{\mathit{a}}_{16}-{\mathit{a}}_1|$ будет
нечётной только в том случае, если сумма
$\left({\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2\right)+\left({\mathit{a}}_2-{\mathit{a}}_3\right)+\left({\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4\right)+\dots +\left({\mathit{a}}_{15}-{\mathit{a}}_{16}\right)+\left({\mathit{a}}_{16}-{\mathit{a}}_1\right)$ будет нечётной, но последняя сумма равна $0$, следовательно, чётна. Отсюда сумма $\left|{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2\right|+|{\mathit{a}}_2-{\mathit{a}}_3|+|{\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4|+\dots +|{\mathit{a}}_{15}-{\mathit{a}}_{16}|+|{\mathit{a}}_{16}-{\mathit{a}}_1|$ чётна и не может равняться $41$. в) Заметим, что $\left|{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2\right|+|{\mathit{a}}_2-{\mathit{a}}_3|+|{\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4|+\dots +|{\mathit{a}}_{15}-{\mathit{a}}_{16}|+|{\mathit{a}}_{16}-{\mathit{a}}_1|=$
$=\left({\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+\dots +{\mathit{x}}_{16}\right)-\left({\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+\dots {\mathit{y}}_{16}\right)$. Каждый модуль $\left|{\mathit{a}}_{\mathit{i}}-{\mathit{a}}_{\mathit{i}+1}\right|$ ($\mathit{i}=1,2,\dots 15$) представлен в виде, ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}-{\mathit{y}}_{\mathit{i}}$, где ${\mathit{x}}_1$ — большее из чисел ${\mathit{a}}_{\mathit{i}}$ и ${\mathit{a}}_{\mathit{i}+1}$, ${\mathit{y}}_{\mathit{i}}$ — меньшее из них. Аналогично $\left|{\mathit{a}}_{16}-{\mathit{a}}_1\right|={\mathit{x}}_{16}-{\mathit{y}}_{16}$. Причём каждое ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ встречается среди чисел ${\mathit{x}}_1$, ${\mathit{x}}_2$, …, ${\mathit{x}}_{16}$, ${\mathit{y}}_1$, ${\mathit{y}}_2$, …, ${\mathit{y}}_{16}$ ровно $2$ раза. Тогда ${\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+\dots +{\mathit{x}}_{16}⩽16+16+15+15+\dots +9+9=200$, а ${\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+\dots +{\mathit{y}}_{16}⩾1+1+2+2+\dots +8+8=72$. Отсюда $\left({\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+\dots +{\mathit{x}}_{16}\right)-\left({\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+\dots +{\mathit{y}}_{16}\right)⩽200-72=128$, то есть сумма записанных модулей разностей не превышает $128$. Приведём пример, в котором указанная сумма равна $128$. Пусть на доске изначально числа в следующем порядке (по часовой стрелке): $1$; $16$; $2$; $15$; $3$; $14$; $4$; $13$; $5$; $12$; $6$; $11$; $7$; $10$; $8$; $9$. Тогда $\left|1-16\right|+|16-2|+|2-15|+|15-3|+|3-14|+|14-4|+|4-13|+$
$+|13-5|+|5-12|+|12-6|+|6-11|+|11-7|+|7-10|+|10-8|+|8-9|+$
$+|9-1|=128$.