Задание №76825 ЕГЭ Профильной математике

а) Нет, не может. Наименьшая сумма $40$ различных натуральных чисел, кратных $4$, равна $4·1+4·2+...+4·40=4\left(1+2+...+40\right)=\frac{4·41·40}{2}=3280$.

б) Нет, не может. Сумма $17$ чисел, оканчивающихся на $7$, не меньше, чем $7+17+...+167=\frac{7+167}{2}·17=1479$. Значит, при $17$ числах с последней цифрой $7$ сумма всех выписанных чисел больше $840$.

б) Нет, не может. Если только $1$ число белое, то остальные $39$ чисел - зелёные и их сумма не меньше чем $4·1+4·2+...+4·39=4\left(1+2+...39\right)=4·\frac{40·39}{2}=3120$, а сумма всех чисел не меньше, чем $3120+9=3129$.

в) Пусть $\mathit{m}$ - количество белых чисел, тогда зелёных чисел выписано $\left(40-\mathit{m}\right)$. Сумма всех выписанных чисел не меньше, чем $9\left(1+2+...+\mathit{m}\right)+4\left(1+2+...+40-\mathit{m}\right)=9·\frac{\left(\mathit{m}+1\right)\mathit{m}}{2}+4·\frac{\left(41-\mathit{m}\right)\left(40-\mathit{m}\right)}{2}$. Должно выполняться неравенство $\frac{9\left(\mathit{m}+1\right)\mathit{m}}{2}+\frac{4\left(41-\mathit{m}\right)\left(40-\mathit{m}\right)}{2}\le 2453,13{\mathit{m}}^2-315\mathit{m}+1654\le 0$. Перебирая натуральные значения $\mathit{m}$, получаем, что наименьшее значение $\mathit{m}$, для которого выполнено это неравенство, равно $8$. Действительно, при , следовательно, $13{\mathit{m}}^2-315\mathit{m}+1654>0$. При . Аналогично, при $\mathit{m}=7$ выполняется $13{\mathit{m}}^2-315\mathit{m}+1654>0$. При $\mathit{m}=8$ выполняется . Построим пример для $\mathit{m}=8$. Наименьшее значение суммы в этом случае равно $9·\frac{9·8}{2}+4·\frac{33·32}{2}=2436$, что на $17$ меньше требуемой суммы.

Учитывая, что $17=9+4+4$, построим один из возможных примеров. Выписаны белые числа $9·1,9·2,...,9·6,9·7$ и $9·9$ и зелёные числа $4·1,4·2,...,4·30,4·31$ и $4·34$.