Задание №76826 ЕГЭ Профильной математике

а) Каждый день Сергей Петрович изготавливает на (s - p) деталей больше, чем Пётр Сергеевич. Тогда за 20 дней Сергей Петрович изготовил на 20(s - p) деталей больше. Должно выполняться равенство 20(s-p) = 2261, но 2261 нацело не делится на 20. Следовательно, требуемое невозможно.

б) Если Сергей Петрович изготовил не более 3000 деталей, то Пётр Сергеевич не более 739 деталей. За 19 дней Сергей Петрович изготовил бы не менее, чем $\frac{2+192}{2}·19=1843$ деталей. Значит, требуемое не возможно.

в) Пусть рабочие делали детали в течение n дней, тогда $\mathit{n}\left(\mathit{s}-\mathit{p}\right)=2261=7·17·19$. При этом в последний день Пётр Сергеевич изготовил p + 10(n - 1) деталей, p + 10(n - 1) < 300, 10(n - 1) < 300, n ≤ 60. Значит, n натуральный делитель числа 2261, не превосходящий 60. Таким образом n = 1, n = 7, n = 17 или n = 19. Пусть Пётр Сергеевич за все дни изготовил R деталей, тогда Сергей Петрович (R + 2261). Следовательно, наибольшее возможное количество деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, будет при наибольшем количестве деталей, изготовленных Петром Сергеевичем. $\mathit{R}=\frac{2\mathit{p}+10\left(\mathit{n}-1\right)}{2}·\mathit{n}$ При каждом фиксированном значении n значение R тем больше, чем больше p, то есть R - наибольшее при p = 309 - 10n и $\mathit{R}=\frac{608-10\mathit{n}}{2}·\mathit{n}=304\mathit{n}-5{\mathit{n}}^2=\left(304-5\mathit{n}\right)·\mathit{n}$. При n = 1 R = 299. При n = 7 R = 1883. При n = 17 R = 3723. При n = 19 R = 3971.

Наибольшее число деталей, изготовленных Сергеем Петровичем, равно 3971 + 2261 = 6232.