Задание №76827 ЕГЭ Профильной математике

а) Да, возможно. Маша с первого по 5 день сделала бы в сумме m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) фотографии, а Катя k + (k + 1) + (k + 2) + (k + 3) + (k + 4) фотографий. Тогда (m+4)+(m+3)+(m+2)+(m+1)+m-(k+4)-(k+3)-(k+2)-(k+1)-k = = 5(m - k). Значит, должно выполняться равенство 5(m - k) = 715, m- k = 143. Пусть Катя в первый день сделала одну фотографию, а Маша 144. Тогда за 5 дней Маша сделает на 715 фотографий больше.

б) Нет, не может. Предположим, что это возможно. Тогда m+ (m+1)+ ...+ (m+ 10) = 1000; 11m = 1000-55, но (1000- 55) не делится нацело на 11, значит получили противоречие.

в) Пусть девочки делали фотографии в течение n дней. Тогда Маша сделала на m + (m+ 1) + (m+ 2) + ... (m + n - 1) - k - (k + 1) - ... ...-(k+n-1) = n(m-k) фотографий больше. Значит, n(m-k) = 715, n делитель числа 715. Но 715 = 5·11·13, все его натуральные делители это числа 1, 5, 11, 13, 55, 65, 143, 715. В последний день Катя сделала k + (n - 1) фотографий, k + (n - 1) < 35, но k ≥ 1, следовательно (n - 1) < 34, n < 35. Тогда n = 1, n = 5, n = 11 или 13. Так как за все дни Маша сделала на 715 фотографий больше, чем Катя, то большее количество фотографий, сделанных Машей, будет при наибольшем количестве фотографий, сделанных Катей. За n дней Катя сделала s = k + (k + 1) + ... + (k + (n - 1)) = $\frac{2\mathit{k}+\mathit{n}-1}{2}·\mathit{n}$ фотографий. При каждом фиксированном n это количество тем больше, чем больше k, но k + (n - 1) < 35, то есть k + n < 36, k < 36 - n. При n = 1 наибольшее k = 34 и s = $\frac{2·34}{2}$ = 34. При n = 5 наибольшее k = 30 и s = $\frac{2·30+4}{2}·5$ = 160. При n = 11 наибольшее k = 24 и s = $\frac{2·24+10}{2}·11$ = 319. При n = 13 наибольшее k = 22 и s = $\frac{2·22+12}{2}·13$ = 364. Тогда наибольшее количество Машиных фотографий равно 364 + 715 = 1079.