Задание №76828 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть два человека написали обе контрольные, за каждую из них набрав по 30 баллов. И пусть 9 человек написали только первую контрольную (двое на - 18 баллов и семеро на - 24 балла). Аналогично, пусть только вторую контрольную написали 9 оставшихся студентов (двое на - 18 баллов и семеро на - 24 балла). Тогда средний балл за каждую контрольную равен $\frac{30·2+18·2+7·24}{11}=24$. Среднее арифметическое названных баллов равно .

б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $21·20=420$. Всего написанных контрольных 22 и сумма набранных за них баллов равна $22·24=528$. При этом, 528 - 420 = 108, то есть 108 баллов из заработанных не были поданы профессору. Эти 108 баллов могли быть заработаны только двумя студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал баллы за 1 контрольную, то есть не более 30 баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $2·30=60$. Но $108>60$, поэтому наше предположение не верно.

в) Пусть k студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано (20 + k) работ и общее количество заработанных баллов равно 24(20 + k) = 480 + 24k. Сумма баллов, названных профессору, равна $21·20=420$. Тогда не поданными остались (480+ 24k - 420) = 60 + 24k баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более 30 баллов (30 - максимальный балл за одну контрольную). Следовательно, всего осталось не поданными не более 30k баллов. Получим неравенство $60+24\mathit{k}\le 30\mathit{k}$, отсюда $\mathit{k}\ge 10$.

Приведём пример для k = 10. Пусть 10 студентов написали обе контрольные на 30 баллов, 5 - только первую контрольную (каждый на 12 баллов), 5 - только вторую контрольную (каждый на 12 баллов). Тогда среднее арифметическое названных баллов равно $\frac{30·10+12·10}{20}=21$.

Средний балл за каждую контрольную равен $\frac{30·10+5·12}{15}=24$.