Задание №76830 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть два студента написали обе контрольные на $4$ балла, $25$ студентов написали только первую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов), $25$ студентов написали только вторую контрольную (двое — на $30$ баллов, $23$ — на $17$ баллов). Тогда средний балл за каждую контрольную равен $\frac{2\cdot 4+2\cdot 30+23\cdot 17}{27}=17$, а средний балл среди названных равен $\frac{2\cdot 4+4\cdot 30+46\cdot 17}{52}=17,5>17$.

 

б) Нет, не может. Предположим противное. Тогда сумма названных баллов равна $13\cdot 52=676$. Всего написанных контрольных $56$ и сумма набранных за них баллов равна $56\cdot 17=952$. При этом $952-676=276$, то есть $276$ баллов из числа заработанных не было подано профессору. Эти $276$ баллов могли быть заработаны только теми $4$ студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из них не назвал балл за $1$ контрольную, то есть не более $30$ баллов. В сумме количество баллов, не поданных профессору, не превышает $4\cdot 30=120$. Но , поэтому наше предположение не верно.

 

 

в) Пусть $\mathit{n}$ студентов написали обе контрольные, тогда всего было написано $\left(52+\mathit{n}\right)$ работ и общее количество заработанных баллов равно $17\left(52+\mathit{n}\right)=884+17\mathit{n}$. Сумма баллов, поданных профессору, равна $52\cdot 13=676$. Тогда не поданными остались $\left(884+17\mathit{n}\right)-676$ баллов, то есть $208+17\mathit{n}$ баллов. Эти баллы могли быть получены только теми студентами, которые написали обе контрольные. Каждый из этих студентов оставил не поданными не более $30$ баллов. Следовательно, всего остались не поданными не более $30\mathit{n}$ баллов. Получим неравенство $208+17\mathit{n}⩽30\mathit{n}$, $\mathit{n}⩾16$. Приведём пример для $\mathit{n}=16$. Пусть $16$ студентов написали обе контрольные на $30$ баллов, $18$ — только первую контрольную ($3$ — на $30$ баллов, $1$ — на $8$, остальные на $0$) и $18$ написали только вторую контрольную с теми же результатами.