Задание №76831 ЕГЭ Профильной математике

а) Да, может. Пусть выписаны $2$ числа, оканчивающиеся на $7:7,17$ и $28$ чётных чисел: $2,2·2,2·3,2·4,...2·26,2·27$, а так же число $60$.

б) Нет, не может. Сумма $17$ чисел, оканчивающихся на $7$, не меньше, чем $7+17+...+167=\frac{7+167}{2}·17=1479$. Значит, при $17$ числах с последней цифрой $7$ сумма всех выписанных чисел больше $840$.

в) Пусть на доске $\mathit{n}$ чисел, оканчивающихся на $7$. Тогда остальные $\left(30-\mathit{n}\right)$ чисел чётны. Значит, сумма всех выписанных чисел не меньше чем $7+17+...\left(7+\left(\mathit{n}-1\right)·10\right)+2·1+2·2+...+2\left(30-\mathit{n}\right)=\frac{14+\left(\mathit{n}-1\right)10}{2}·\mathit{n}+\frac{\left(30-\mathit{n}\right)\left(31-\mathit{n}\right)}{2}·2=6{\mathit{n}}^2-59\mathit{n}+930$.

Должно выполняться неравенство $6{\mathit{n}}^2-59\mathit{n}+930\le 840$, то есть $6{\mathit{n}}^2-59\mathit{n}+90\le 0$. Решим уравнение $6{\mathit{n}}^2-59\mathit{n}+90=0$, получим ${\mathit{n}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{59\pm \sqrt{1321}}{12}$. Неравенство $6{\mathit{n}}^2-59\mathit{n}+90\le 0$ выполнено при $\frac{59-\sqrt{1321}}{12}\le \mathit{n}\le \frac{59+\sqrt{1321}}{12}$.

Тогда $\mathit{n}\le \frac{59+\sqrt{1321}}{12}\le \frac{59+37}{12}=8$. Так как $\mathit{n}$ натуральное число, то $\mathit{n}\le 7$. Количество чисел, оканчивающихся на $7$, должно быть чётным, иначе сумма всех выписанных чисел была бы нечетна. Приведём пример для $\mathit{n}=6$. Пусть выписаны числа $7,17,27,37,47,57$, а так же $21,...2·23$ и число $96$.