Задание №76832 ЕГЭ Профильной математике

а) Нет, не может. Сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, чётна, сумма $26$ чётных чисел — тоже чётна, следовательно, сумма $4$ чисел, оканчивающихся на $1$, и $26$ чётных чисел — чётна и не равна $771$. б) Нет. Если на доске выписаны $13$ разных чисел, оканчивающихся на $1$, то их сумма не меньше чем $1+11+\dots +111+121=\frac{122}{2}\cdot 13=793>771$. Тогда сумма всех выписанных чисел тем более больше $771$. в) Пусть на доске $\mathit{n}$ чисел, оканчивающихся на $1$, тогда $\left(30-\mathit{n}\right)$ чисел — чётные. Следовательно, сумма всех чисел не меньше чем $1+11+\dots +\left(1+10\left(\mathit{n}-1\right)\right)+2\cdot 1+2\cdot 2+\dots +2\cdot \left(30-\mathit{n}\right)=$ $\frac{1+1+10\left(\mathit{n}-1\right)}{2}\cdot \mathit{n}+\frac{\left(30-\mathit{n}\right)\left(31-\mathit{n}\right)}{2}\cdot 2=6{\mathit{n}}^2-65\mathit{n}+930$. Должно выполняться неравенство $6{\mathit{n}}^2-65\mathit{n}+930⩽771$, то есть $6{\mathit{n}}^2-65\mathit{n}+159⩽0$. Решим уравнение $6{\mathit{n}}^2-65\mathit{n}+159=0$, ${\mathit{n}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{65\pm \sqrt{409}}{12}$. Неравенство $6{\mathit{n}}^2-65\mathit{n}+159⩽0$ выполняется при $\frac{65-\sqrt{409}}{12}⩽\mathit{n}⩽\frac{65+\sqrt{409}}{12}$. Значит, $\mathit{n}⩾\frac{65-\sqrt{409}}{12}>\frac{65-21}{12}>3$. Так как $\mathit{n}$ — натуральное число, то $\mathit{n}⩾4$. Но $\mathit{n}$ должно быть нечётным (иначе сумма всех чисел была бы чётной), значит, $\mathit{n}⩾5$. Приведём пример для $\mathit{n}=5$. Пусть выписаны числа $1$, $11$, $21$, $31$, $41$, а также $2\cdot 1$, $2\cdot 2$, $2\cdot 3$, … $2\cdot 24$ и число $66$.