Задание №84951. На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в

Задание №84951 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #84951

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке 0; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), соли выпадает четное число очков, и влево (отрицательное направление прямов, если выпалает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке «–50», если Митя 30 раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–50»?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечетное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке «–55», если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпалала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз.

Ответ

Ответ:

Решение

А) Попробуем «докатиться» до $- 50$ . Можно укатиться дальше, чем $- 50$ , с помощью нечётных чисел и вернуться обратно с помощью чётных чисел:

$- 54 = 18 раз по (- 3)$

$- 54 + 4 = - 50 (1 раз по (+ 4))$

Вывод: Можно, если, например, 18 раз выпадает $- 3$ и 1 раз выпадает $+ 4$ .

Б) Количество бросков одинаково. Обозначим его как $n$ . Тогда всего сделали $n$ чётных и $n$ нечётных бросков, то есть $2 n$ бросков. Нам нужно найти минимальное количество бросков.

Грубо говоря, нам нужно как можно быстрее докатиться до $- 50$ . Посмотрим пары чётных и нечётных. Чтобы быстро укатиться в отрицательную часть, нечётное число должно быть больше чётного. То есть, нечётное — максимально, а чётное — минимально:

$- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, 6$

$2 \cdot - 5 = - 3 (нечётное число)$

Нам нужно получить чётное число. Значит, смещаться нужно на чётное количество шагов, то есть $n$ — чётное.

$n = 16 \Rightarrow - 3 \cdot (16) = - 48 (ближайшее, всего 32 броска)$

$n = 17 не подходит по условию .$

$n = 18 (всего 36 бросков) :$ $- 50 + 4 \cdot (- 5) + 4$

Итого: Нужно сделать 18 бросков по $- 5$ , 16 бросков по $2$ , и 2 броска по $4$ (чётных тоже 18).

В) Сделаем чертеж и напишем таблицу количества выпавших чисел. Выпали все числа:

числа	1	2	3	4	5	6
кол-во	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{3}$	$n_{4}$	$n_{5}$	$n_{6}$

Общее количество бросков $2 n$ , причём:

$n = n_{1} + n_{3} + n_{5} n = n_{2} + n_{4} + n_{6}$

То есть: $2 n = n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4} + n_{5} + n_{6}$

Условия: $n_{i} \geq 1$

Подставим всё, выразим наше $- 55$ :

- 55 = - n_{1} + 2 n_{2} - 3 n_{3} + 4 n_{4} - 5 n_{5} + 6 n_{6}

Чтобы быстрее двигаться влево, как в пункте (Б), нужно больше пар $- 5$ и $+ 2$ .

n_{5}, n_{2} \to максимум n_{1}, n_{3}, n_{4}, n_{6} \to минимум

Так как $n_{i} \geq 1$ и $n_{i}$ не повторяется, то возьмём минимальные значения $1, 2, 3, 4$

Выразим максимум через

n

и минимум:

n_{5} = n - n_{3} - n_{1} n_{2} = n - n_{6} - n_{4}

- 55 = - n_{1} + 2 (n - n_{6} - n_{4}) - 3 n_{3} + 4 n_{4} - 5 (n - n_{3} - n_{1}) + 6 n_{6}

- 55 = - n_{1} + 2 n - 2 n_{6} - 2 n_{4} - 3 n_{3} + 4 n_{4} - 5 n + 5 n_{3} + 5 n_{1} + 6 n_{6}

- 55 = - 3 n + 4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6}

Выразим $n$ :

3 n = 4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6} + 55

n = \frac{4 n_{1} + 2 n_{3} + 2 n_{4} + 4 n_{6} + 55}{3}

Чтобы минимизировать числитель, берём минимальные значения для $n_{1}, n_{3}, n_{4}, n_{6}$ : $1, 2, 3, 4$ .

n \geq \frac{4 (1 + 4) + 2 (3 + 2) + 55}{3}

n \geq \frac{81}{3} n \geq 27

Общее количество бросков: $2 n \geq 54 .$

Пример:

Если $2 n = 54$ , то $n = 27$ .

n_{2} + n_{6} = 2 n - (n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4}) = 54 - (1 + 2 + 3 + 4) = 44

23 + 21

n_{2} = 23

n_5 = 21

Проверим:

23 \cdot 2 - 21 \cdot 5 - 2 \cdot 1 + 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3 + 3 \cdot 4

Вычисления: $46 - 105 - 2 + 6 - 12 + 12 = - 55$

Таким подбором получим $- 55$ .

Итог: $n_1 = 2, \quad n_2 = 23, \quad n_3 = 4, \quad n_4 = 3, \quad n_5 = 21, \quad n_6 = 1.$

Ответ: а) $да$ б) $36$ в) $54$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот

Задание №53480 Задание №57959 Задание №52598 Задание №35883 Задание №58402 Задание №53712 Задание №54348 Задание №64198 Задание №89907 Задание №51741 Задание №48029 Задание №66663 Задание №76822 Задание №76823 Задание №54599

Бесплатно

Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!