Задание №85431 ЕГЭ Профильной математике

а) Нам за 45 ходов нужно вернуться в начальную точку. Нули образуются выпадением трёх чисел, например: $$-1 - 3 + 4$$

Нам нужно 15 раз собрать комбинацию $-1, -3, 4$

Итого: 15 бросков с $-1$, 15 бросков с $-3$ и 15 бросков с $4$: $$15 \cdot (-1) + 15 \cdot (-3) + 15 \cdot 4 = 15 \cdot 0 = 0$$

б) Количество бросков одинаково. Обозначим его как $\mathrm{n}$. Тогда всего сделали $\mathrm{n}$ чётных и $\mathrm{n}$ нечётных бросков, то есть $2\mathrm{n}$ бросков. Нам нужно найти минимальное количество бросков.

Грубо говоря, нам нужно как можно быстрее укатиться в отрицательную часть. Нечётное число должно быть больше чётного. То есть, нечётное максимальное, а чётное — минимальное: $$-1, \; 2, \; -3, \; 4, \; -5, \; 6$$

Сумма: $$2 - 5 = -3 \; \text{(нечётное число)}.$$

Нам нужно получить нечётное число. Значит, смещаться нужно на нечётное количество шагов, то есть $\mathrm{n}$ — нечётное число.

1. При $\mathrm{n}=11$: $$-3 \cdot 11 = -33 \; \text{(ближайшее). Всего 22 броска.}$$

2. При $\mathrm{n}=12$: Не подходит по условию.

3. При $\mathrm{n}=13$: $$-5 \cdot 4 + (-5) \cdot 11 + 4 \cdot 11 + 2 \cdot 2 = -35.$$

Нужно сделать 13 бросков по $-5$, 11 бросков по $2$, и 2 броска по $4$.
Итого: чётных тоже $13$.

Всего 26 бросков.

в)Сделаем чертеж и напишем табличку количества выпавших чисел. Выпали все числа:

Числа	1	2	3	4	5	6
Количество раз	${\mathrm{n}}_1$	${\mathrm{n}}_2$	${\mathrm{n}}_3$	${\mathrm{n}}_4$	${\mathrm{n}}_5$	${\mathrm{n}}_6$

​Общее количество бросков — $2\mathrm{n}$, причем:

$\mathrm{n}={\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_3+{\mathrm{n}}_5$

$\mathrm{n}={\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_4+{\mathrm{n}}_6$

Тогда: $2\mathrm{n}={\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_3+{\mathrm{n}}_4+{\mathrm{n}}_5+{\mathrm{n}}_6$

Условие: ${\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}\ge 1$

Подставим все и выразим наше $-40$:

$-40=-1{\mathrm{n}}_1+2{\mathrm{n}}_2-3{\mathrm{n}}_3+4{\mathrm{n}}_4-5{\mathrm{n}}_5+6{\mathrm{n}}_6$

Чтобы быстрее двигаться влево (как в пункте б), нужно больше пар $-5$- и $+2$-.
Следовательно:

• ${\mathrm{n}}_5,{\mathrm{n}}_2\to \max$-
• ${\mathrm{n}}_1,{\mathrm{n}}_3,{\mathrm{n}}_4,{\mathrm{n}}_6\to \min$-

Так как ${\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}\ge 1$-, и ${\mathrm{n}}_{\mathrm{i}}$ не повторяется, возьмем минимальные значения: 1, 2, 3, 4.

Выразим $\max$ через $n$ и $\min$:

${\mathrm{n}}_5=\mathrm{n}-{\mathrm{n}}_3-{\mathrm{n}}_1$

${\mathrm{n}}_2=\mathrm{n}-{\mathrm{n}}_6-{\mathrm{n}}_4$

Подставляем

$-40=-{\mathrm{n}}_1+2(\mathrm{n}-{\mathrm{n}}_6-{\mathrm{n}}_4)-3{\mathrm{n}}_3+4{\mathrm{n}}_4-5(\mathrm{n}-{\mathrm{n}}_3-{\mathrm{n}}_1)+6{\mathrm{n}}_6$

Раскрываем скобки:

$-40=-{\mathrm{n}}_1+2\mathrm{n}-2{\mathrm{n}}_6-2{\mathrm{n}}_4-3{\mathrm{n}}_3+4{\mathrm{n}}_4-5\mathrm{n}+5{\mathrm{n}}_3+5{\mathrm{n}}_1+6{\mathrm{n}}_6$

Приводим подобные:

$-40=-3\mathrm{n}+4{\mathrm{n}}_1+2{\mathrm{n}}_3+2{\mathrm{n}}_4+4{\mathrm{n}}_6$

Выражаем $\mathrm{n}$:

$3\mathrm{n}=4{\mathrm{n}}_1+2{\mathrm{n}}_3+2{\mathrm{n}}_4+4{\mathrm{n}}_6+40$

$\mathrm{n}=\frac{4{\mathrm{n}}_1+2{\mathrm{n}}_3+2{\mathrm{n}}_4+4{\mathrm{n}}_6+40}{3}$

Для минимизации числителя берём минимальные значения для ${\mathrm{n}}_1,{\mathrm{n}}_3,{\mathrm{n}}_4,{\mathrm{n}}_6$:
${\mathrm{n}}_1=1$, ${\mathrm{n}}_3=2$, ${\mathrm{n}}_4=3$, ${\mathrm{n}}_6=4$.

Подставляем:

$\mathrm{n}\ge \frac{4(1+2)+2(3+4)+40}{3}$

$$\begin{gathered} \mathrm{n}\ge \frac{66}{3} \\ \mathrm{n}\ge 22 \end{gathered}$$

Общее количество бросков:

$\text{2n≥44}$

Пример:

Если $\mathrm{n}=22$, то $2\mathrm{n}=44$.

Сумма чётных чисел: ${\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_5=2\mathrm{n}-({\mathrm{n}}_1+{\mathrm{n}}_2+{\mathrm{n}}_3+{\mathrm{n}}_4)=44-10=34$

Распределим: ${\mathrm{n}}_2=18,{\mathrm{n}}_5=16.$

Проверка:

Дано:

${\mathrm{n}}_2=18,{\mathrm{n}}_5=16$

Подставляем и проверяем: $18\cdot 2-16\cdot 5-2\cdot 1+1\cdot 6-4\cdot 3+3\cdot 4=-40$

Ответы на пункты:

а) Да

б) 26

в) 44