Задание №17540 ЕГЭ Профильной математике

$$\begin{gathered} А) \\ 1. Рас. АС1НВ1 \angle С1;\angle В1 =90°, соответственно, можно описать окружность , где АН - диаметр \\ \angle АС1В и \angle АНВ1 вписанные углы опираются на одну дугу, тогда \\ \angle АНВ1=\angle АС1В \\ 2. Рас.ВСВ1С1, где \angle ВС1С и \angle ВСВ1=90°, тогда можно описать окружность, где ВС - диаметр \\ \angle АС1В1=180-\angle ВС1В1=\angle ВСВ1 \\ Соответственно, \angle АСB=\angle AH1 \\ ч.т.д. \\ Б) \\ 1. Рас.△ ВАВ1 \angle ВАВ1=30°, тода \\ \sin \angle ABB1=\frac{AB1}{AB}; \angle ABB1=60°, BB1=0.5*AB (т.к. лежит напротив угла 30°) \\ \frac{АВ1}{АВ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ( по \sin 60° ), тогда АВ1=\frac{\sqrt{3}}{2}АВ \\ 2. Рас. △АНВ1 \sin АНВ1=\frac{АВ1}{АН} \\ 3. Рас. △ВВ1С \sin \angle ВСВ1=\frac{ВВ1}{ВС} \\ 4. \sin \angle AHB1=\sin \angle ACB (из док-ва о равности углов АНВ1 и АСВ) \\ В таком случае, \frac{АВ1}{АН}=\frac{ВВ1}{ВС} \\ ВС=\frac{10\sqrt{3}\times 0,5 АВ}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}АВ}=10 \end{gathered}$$