Задание №2259 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть точка М1 — середина А1С1. Очевидно, М1 лежит в плоскости ВВ1М1. Проведем ММ1. Это прямая, содержащая среднюю линию треугольника ТА1С1, так как ММ1 и АА1 параллельны, и проходит через середину А1С1. Значит, она проходит и через середину ТС1.

б) Обозначим середину ТС1 — K. Рассмотрим плоскость ВВ1М1М. Отрезок BK лежит в ней и в плоскости ВТС1, поэтому надо узнать, как отрезок BK делит отрезок В1М — диагональ прямоугольника ВВ1М1М со сторонами ВВ1=9, ВМ=2√3. При этом М1К=(А1Т)/2=2 

Пусть O точка пересечения BK и В1М. Тогда

т.к. высота, проведенная из точки B, общая для обоих треугольников.