Задание №56821 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть точка M₁ делит ребро AD в отношении тогда

и многогранник M₁BCDMB₁C₁D₁  — параллелепипед. Пусть плоскость MCK пересекает ребро BB₁ в некоторой точке P. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, поэтому параллельны прямые KM и CP, по которым эти грани пересечены плоскостью сечения. Отрезки KM и CP равны как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, и MKCP  — параллелограмм. Следовательно, прямоугольные треугольники CPB и MKD₁ равны по катету и гипотенузе: BC  =  MD₁ и CP  =  MK. Тогда

а значит, точка P  — середина ребра BB₁. Отрезки BP и KD равны и параллельны, тогда BPKD  — параллелограмм, и, значит, прямая PK параллельна прямой BD. Прямая PK лежит в плоскости MKC, а прямая BD не лежит в этой плоскости, тогда по признаку параллельности прямой и плоскости плоскость MKC параллельна прямой BD  — что и требовалось доказать.

б)  Заметим, что MKCP  — параллелограмм с прямым углом, следовательно, MKCP  — прямоугольник. Угол между плоскостью MKC и плоскостью ABCD будем искать с помощью площади проекции. Проекция прямоугольника MKCP на плоскость это параллелограмм Пусть D₁K  =  x, KD  =  x. По теореме Пифагора:

тогда

Если то треугольник B₁A₁M  — равносторонний, C₁D₁  =  A₁B₁  =  CD  =  A₁M  =  2. Найдем длину BD:

Найдем значение x:

Тогда Площадь MKCP равна, таким образом, Площадь равна Найдем косинус угла между плоскостью MKC и плоскостью основания:

Тогда а

Ответ: