Задание №29351 ЕГЭ Профильной математике

а) Прямая C1T перпендикулярна прямой A1B1, поскольку C1T — медиана равностороннего треугольника A1B1C1. Прямые C1T и A1A перпендикулярны, так как прямая A1A перпендикулярна плоскости A1B1C1. Следовательно, прямая C1T перпендикулярна плоскости AA1B1. Значит, прямая C1T перпендикулярна прямой AT. Следовательно, треугольник ATC1 прямоугольный.

б) В плоскости AC1T проведём прямую через середину O отрезка AC1 перпендикулярно этому отрезку. Эта прямая пересекает AT в некоторой точке H. Угол A1OH — линейный угол искомого угла. Треугольники AOH и ATC1 подобны. Следовательно,

Прямые A1O и OH перпендикулярны прямой AC1, значит, плоскость A1OH перпендикулярна прямой AC1, и прямая A1H тоже перпендикулярна прямой AC1. Прямая C1T перпендикулярна плоскости ABB1A1, следовательно, прямая A1H перпендикулярна прямой C1T. Из этого следует, что прямая A1H перпендикулярна плоскости AC1T, а значит, и прямой OH. Тогда

Ответ: