Задание №56579. В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит

Задание №56579 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #56579

В основании прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точки K и M  — середины рёбер A₁B₁ и AC соответственно.

а)  Докажите, что KM  =  KB.

б)  Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB₁, если AB  =  8, AC  =  6 и AA₁  =  3.

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Пусть L  — середина ребра AB. Треугольник AMB прямоугольный, поэтому его медиана LM равна половине гипотенузы и равна LB. Из равенства треугольников KLM и KLB следует, что KM  =  KB.

б)  Пусть MH  — высота в треугольнике AMB. Прямая MH перпендикулярна прямым AB и BB₁, следовательно, она перпендикулярна плоскости ABB₁ и угол HKM искомый.

Вычисляя двумя способами площадь треугольника AMB, получим $MH умножить на AB=MA умножить на MB,$ откуда