Задание №56471. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На

Задание №56471 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #56471

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания  — точки В₁ и С₁, причем ВВ₁  — образующая цилиндра, а отрезок АС₁ пересекает ось цилиндра.

а)  Докажите, что угол АВС₁ прямой.

б)  Найдите угол между прямыми ВВ₁ и АС₁, если АВ  =  8, ВВ₁  =  6, В₁С₁  =  15.

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС₁. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС₁  — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно, угол АВС прямой.

Прямая СС₁ является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС₁ (BС и СС₁), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС₁ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, угол АВС₁ прямой.

б)  Поскольку прямые ВВ₁ и СС₁ параллельны, искомый угол равен углу АС₁С.

Треугольники АВС и АСС₁ являются прямоугольными, поэтому:

$AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс B_1C_1 в квадрате конец аргумента =17;$ $тангенс \widehatAC_1C= дробь: числитель: AC, знаменатель: CC_1 конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: BB_1 конец дроби = дробь: числитель: 17, знаменатель: 6 конец дроби .$