Задание №66329 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть прямая из условия пересекает  в точке  а  — в точке  

пусть  — точка пересечения диагоналей ромба.

Опустим высоту  на 

Заметим, что  Тогда 

Так как  а  то  — середина 

Запишем теорему Менелая для треугольника  и прямой 

По теореме Фалеса для угла  и параллельных прямых  и  (обе эти прямые перпендикулярны )

Таким образом,  в два раза меньше  Значит,  Значит, 

Четырехугольник  — прямоугольник. Тогда  следовательно,

б) Заметим, что

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

Прямоугольные треугольники  и  подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

Значит, так как  то по формуле косинуса двойного угла

Тогда

Значит,

Пусть  Тогда по теореме косинусов для треугольника 

Таким образом, сторона ромба равна 6.