Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №14
  • Задание №14

    • Задание №66526 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66526

    №14 по КИМ

    В правильной треугольной пирамиде SABC  сторона основания AB  равна 6,  а боковое ребро SA  равно √ -- 21.  На ребрах AB  и SB  отмечены точки M  и K  соответственно, причем AM =4,  SK :KB = 1 :3.

    а) докажите, что плоскость CKM  перпендикулярна плоскости ABC.

    б) Найдите объем пирамиды BCKM.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

     
     
     
     

    а) Проведем BB1 ⊥ AC.  Пусть CM  пересекает BB1  в точке O.  Тогда KO  — линия пересечения плоскостей CKM  и ASB1.  Проведем SH  — высоту пирамиды SABC.  Докажем, что KO ∥SH,  тогда из SH ⊥ (ABC )  будет следовать, что KO ⊥ (ABC ),  откуда будет следовать, что (CKM )⊥ (ABC ).

    По теореме Менелая для △ABB1  и прямой CM :

    AM--⋅ BO-⋅ B1C-= 1 ⇔ 2 ⋅ BO-⋅ 1 = 1 ⇔ BO--= 1 MB OB1 CA 4 OB1 2 OB1

    Следовательно, BO = 1BB . 2 1  Так как BH = 2BB , 3 1  то

    1 (2 1) 1 1 BO :OH = 2 : 3 − 2 = 2 :6 = 3:1

    Так как BO :OH = BK :KS = 3 :1,  то по обратной теореме Фалеса KO ∥SH.  Чтд.

    PIC

    б) Объем пирамиды BCKM  равен

    1 V = 3 ⋅KO ⋅SBCM

    Из пункта а) следует, что  3 KO = 4SH.  Высота правильного треугольника ABC  равна  √- √- BB1 = AB2-3= 3 3  ⇒ √- BH = 2 3  ⇒

    √------ SH = 21− 12= 3

    Тогда

    KO = 3 ⋅3= 9 4 4

    Так как площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как основания, то

    1 1 AB2 √3 √- SBCM = 3SABC = 3 ⋅--4-- = 3 3

    Следовательно,

    √- √ - V = 1⋅ 9 ⋅3 3 = 9-3. 3 4 4
     
    Ответ: б)  √- 9-3- 4
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №53477Задание №58397Задание №53692Задание №89375Задание №89376Задание №89377Задание №89378Задание №89379Задание №89380Задание №2259Задание №56471Задание №56472Задание №56473Задание №56474Задание №56579
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта