Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №14
  • Задание №14

    • Задание №66515 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #66515

    №14 по КИМ

    Грань ABCD  куба ABCDA1B1C1D1  является вписанной в основание конуса, а сечением конуса плоскостью A1B1C1  является круг, вписанный в четырехугольник A1B1C1D1.

    а) Высота конуса равна h,  ребро куба равно a.  Докажите, что 3a <h < 3,5a.

    б) Найдите угол между плоскостями ABC  и SA1D,  где S  — вершина конуса.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

     
     
     

    а) Радиус основания конуса равен половине диагонали квадрата ABCD,  то есть равен  √a R = 2.  Радиус окружности, вписанной в A1B1C1D1,  равен половине стороны этого квадрата, то есть  a r = 2.

    △SQO1 ∼ △SAO,  следовательно,

    1a √- SO1-= QO1- ⇒ h−-a-= 2√a- ⇔ h= (2+ 2)a SO AO h 2

    Так как  √ - 1< 2< 1,5,  то h ∈(3a;3,5a).

     

    PIC

    б) Найдем линию пересечения плоскости SA1D  с плоскостью ABC.  Для этого найдем точку пересечения прямой SA1  с плоскостью ABC  — это точка X = SA ∩OA. 1  Тогда DX  — искомая линия пересечения.

    пусть OH ⊥ DX.  Тогда по ТТП SH ⊥ DX.  Следовательно, φ = ∠SHO  — угол между (SA1D )  и (ABC ) .

    △SA1O1 ∼ △SXO  ⇒

    √ - a√- SO1-= A1O1- ⇒ (1-+√-2)a-= --2 ⇔ XO = a SO XO (2 + 2)a XO

    Из △DOX  по теореме Пифагора

    ∘ 1------ ∘ 3- DX = 2a2 +a2 = 2 a

    По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла треугольника, получаем

    a OH = DO-⋅XO--= √∘2-⋅a= √a- DX 3a 3 2

    Тогда из △SHO :

    √- tgφ= -SO = (2+-a2)a =2√3-+ √6 ⇒ φ = arctg(2√3-+ √6). HO √3
     
    Ответ: б) arctg(2√3-+ √6)
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    15
    Задание №53477Задание №58397Задание №53692Задание №89375Задание №89376Задание №89377Задание №89378Задание №89379Задание №89380Задание №2259Задание №56471Задание №56472Задание №56473Задание №56474Задание №56579
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта