Задание №66520 ЕГЭ Профильной математике

а) Так как  то  Так как   то по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно, 

Пусть  — середина  Требуется доказать, что  Но  и  — медианы в прямоугольных треугольниках  и  проведенные к общей гипотенузе, следовательно, они равны половине гипотенузы, то есть

Что и требовалось доказать.

б) Пусть  — середина  Так как   то  Проведем  Тогда  Следовательно,  — проекция  на плоскость  Следовательно, требуется найти 

Так как  — середина  и  то  — средняя линия с треугольнике  то есть  — середина  Следовательно, 

Так как  и  — середины  и  соответственно, то  — средняя линия треугольника  то есть 

По условию  значит,  Следовательно,