Задание №66514 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть  — высота пирамиды  Так как эта пирамида правильная, то  — точка пересечения диагоналей квадрата 

Так как  то  перпендикулярна любой прямой из  Следовательно,  Пусть 

Так как   то по теореме о трех перпендикулярах  Проведем через точку  прямую  (см. рис.). Тогда  Следовательно,  — сечение пирамиды плоскостью  Также по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно, так как  то диагонали сечения  и  перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б) Так как диагонали сечения  взаимно перпендикулярны, то площадь сечения можно искать по формуле

По условию  а  Следовательно,  Следовательно,  Значит,  равносторонний. Тогда

Так как  равносторонний, то  и  — не только высоты, но и медианы этого треугольника. Следовательно, точкой пересечения они делятся в отношении  считая от вершины. Тогда

 следовательно,

Тогда искомая площадь равна